最新人教版高中数学必修2第二章《直线、平面垂直的判定及其性质》优化训练

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3.2 平面与平面垂直的判定

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面”用符号语言表示为( )

A.mα,m∩n=B,l⊥n,l⊥ml⊥α B.mα,nα,m∩n=B,l⊥m,l⊥nl⊥α

C.mα,nα,m∩n=Bl⊥n,l⊥m,l⊥α D.mα,nα,l⊥m,l⊥nl⊥α

解析:可以先画一个图，标上各字母，再对照写出符号语言.A只有一组线线垂直，C没有分清条件和结论，D没有体现平面内的两条直线是相交直线.

答案：B

2.二面角是指( )

A.两个平面相交的图形

B.一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形

C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

D.以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角

解析:根据二面角的定义，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.

答案：C

3.如图2-3-1,下列五个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥平面MNP的图形的序号是___________.(写出所有符合要求的图形的序号)

图2-3-1

解析:∵正方体的体对角线与其不相交的面对角线垂直,问题⑤不易判断,这里略证一下：如图,E、F、G是正方体棱的中点,则过P、M、N的截面就是六边形PGMENF.

∵l⊥PF,l⊥FN,

∴l⊥面PFN,即l⊥面PGMENF,即l⊥面PMN.

答案：①④⑤

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.(2006青海调研,4)过平面外的一条直线且与这个平面垂直的平面有( )

A.一个 B.无数个 C.不存在 D.一个或无数个

解析:当这条直线与这个平面垂直时，经过这条直线与已知平面垂直的平面有无数个；当这条直线与这个平面不垂直时，则满足条件的平面只有一个.

答案：D

2.命题（1）“直线l垂直于平面α内的无数条直线，则l⊥α”，命题（2）“若l⊥α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线”,则( )

A.（1）是真命题，（2）是真命题 B.（1）是真命题，（2）是假命题

C.（1）是假命题，（2）是真命题 D.（1）是假命题，（2）是假命题

解析:直线l垂直于平面α内的无数条直线，则l有可能与α斜交，反之若l⊥α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线.

答案：C

3.不能肯定两个平面一定垂直的情况是( )

A.两个平面相交，所成二面角是直二面角

B.一个平面经过另一个平面的一条垂线

C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

D.平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的

解析:若平面α与平面β斜交，也可存在平面α内的直线a与平面β内的直线b垂直这种情况.

答案：D

4.PA⊥正方形ABCD所在的平面,连结PB、PC、PD,互相垂直的平面有_____________对.

解析:PA、AB、AD、BC、CD均是某面的垂线，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PDC，平面PAC⊥平面ABCD.

答案：6

5.如图2-3-2,已知a∥α,a⊥β,求证：α⊥β.

图2-3-2

证明：过a作一平面γ∩α=a′.因a∥α，则a∥a′.又因a⊥β,则a′⊥β.

∵a′α,由面面垂直的判定定理知α⊥β.

30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)

1.下列命题正确的是( )

A.平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面β

B.过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直

C.直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥β

D.垂直于同一平面的两个平面平行

解析:平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，这条直线有可能与平面β斜交.过平面α外一点P有无数个平面β和平面α垂直.垂直于同一平面的两个平面有可能相交.

答案：C

2.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是 ( )

A.平行 B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定

解析:若平面α内的这两条直线相交，则直线l与平面α垂直，若平面α内的两条直线平行，则直线l与平面α可能平行或在α内.

答案：D

3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,过8个顶点中的任意3个可以作平面,其中与某一体对角线垂直的平面我们称其为“有效垂面”,则这样的“有效垂面”一共有( )

A.4个 B.6个 C.8个 D.10个

解析:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,每一个顶点都对应一个“有效垂面”，正方体共有八个顶点，故共有八个“有效垂面”.

答案：C

4.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,且PA=AB,则平面ABP与平面CDP所成锐二面角的度数是( )

A.90° B.60° C.45° D.30°

解析:过P作CD的平行线PE，可以证明平面ABP∩平面CDP=PE,则PE⊥PA，PE⊥PD,所以∠APD就是平面ABP与平面CDP所成的锐二面角.

答案：C

5.已知二面角α-l-β为60°,两条异面直线a、b分别垂直于二面角的面,则异面直线a、b所成的角是______________.

解析:过a上一点作直线b的平行线c，则线a、b所成的角等于线c、b所成的角，由于直线c、b分别垂直于二面角的面，又直线所成的角为锐角，故直线c、b所成的角等于60°.

答案：60°

6.如图2-3-3所示，在三棱锥S—ABC中,SA⊥底面ABC,底面ABC为正三角形,AH⊥面SBC.求证：H不可能是△SBC的垂心.

图2-3-3

证明：假设H是△SBC的垂心,则BH⊥SC.

又∵AH⊥面SBC,即AH⊥SC,

∴SC⊥平面AHB.则SC⊥AB.

又∵SA⊥平面ABC,即SA⊥AB,则AB⊥平面SAC,

∴AB⊥AC.这与∠BAC=60°矛盾,

∴假设不成立.故H不可能是△SBC的垂心.

7.在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出E点的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由.

解：作EM⊥A1C于M,∵截面A1EC⊥面AA1C1C,

∴EM⊥面AA1C1C.取AC的中点N,

∵AB=BC,

∴BN⊥AC.而面ABC⊥面AA1C1C,

∴BN⊥面AA1C1C.∴BN∥EM.

∴面BEMN∩面AA1C1C=MN.

又∵BE∥面AA1C1C,

∴BE∥MN∥A1A.

∵AN=NC,∴A1M=MC.

而四边形BEMN为矩形,

∴BE=MN=A1A,即E为BB1中点时,面A1EC⊥面AA1C1C.

8.如图2-3-4,OA、OB、OC分别是平面α内过O点的三条射线,P是平面α外一点,若∠POA=∠POB=∠POC,求证：PO⊥α.

图2-3-4

证明：若∠POA=∠POB=∠POC≠,作PH⊥α,HD⊥OA于D,HE⊥OB于E,连结PD、PE,则PD⊥OA,PE⊥OB.

∵∠POA=∠POB,PO公共,

∴Rt△POD≌Rt△POE.

∴PD=PE.∴HD=HE.

∴点H在∠AOB的平分线上.

同理,点H也在∠AOC的平分线上.

∴点H是∠AOB的平分线与∠AOC的平分线的交点,即点O.

∵PO⊥平面α,

∴PO⊥OA.这与∠POA≠矛盾,

∴假设不成立.

∴∠POA=∠POB=∠POC=.

∴PO⊥面α.

9.如图2-3-5，四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，试画出二面角O-AB-C的平面角，并求它的度数.

图2-3-5

解：如图，∵四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底面为正方形，∴顶点O在底面上的射影是正方形中心O′，取AB中点E，连结OE，∵OA=OB，

∴OE⊥AB.同理,O′E⊥AB.

∴∠OEO′是二面角OABC的平面角.

连结OO′,在Rt△OO′E中，OE′=1，OE=2，

∴∠OEO′=60°，故二面角的平面角度数为60°.

10.如图2-3-6，已知AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：（1）BC⊥PC；（2）平面PAC⊥平面PBC.

图2-3-6

证明：(1)∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC.

又∵PA垂直于⊙O所在的平面，

∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC.

∴BC⊥PC.(2)由(1)知BC⊥平面PAC,

又BC在平面PBC内，∴平面PAC⊥平面PBC.

快乐时光

教授的不同

在一所大学的操场上，政治学教授、哲学教授和语言学教授围着一根旗杆.数学教授走过来，问：“先生们在忙什么？”“我们需要知道这旗杆的高度，正在讨论用什么手段得到它.”政治学教授说.“瞧我的！”数学教授说着，弯下腰抱紧旗杆使劲一拔，把旗杆拔出后，放倒在地，拿出卷尺量了量，“正好五米五”说完便把旗杆插回原地，走了.“这人！”语言学教授望着他离去的背影轻蔑地说，“我们要的是高度，他却给了我们长度，瞎添乱！”

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