九年级数学上册 28.1 圆的概念及性质 过圆内一点最长的弦和最短的弦素材 (新版)冀教版
发布时间：2024-04-25 12:36:59 来源：文档文库
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过圆内一点的最长的弦和最短的弦
关于过圆内一点的最长的弦和最短的弦，有些同学只是记住了结论，不知道其原因，现将其总结一下，希望能给同学们一点帮助。
一、经过圆内一点最长的弦
同学们已经知道，直径是圆中最长的弦，这是为什么呢？我们可以将圆中的弦分为两类：一类是经过圆心的弦（即直径）；另一类是不经过圆心的弦，如图1，AB是⊙O中的任意一条不经过圆心的弦，连结OA，OB，根据三角形的三边关系都有OA+OB>AB，即，直径的长大于非直径的弦长，所以直径是圆中最长的弦。当然，经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径。
A
OB图1
二、经过圆内一点最短的弦
如图2，点P是⊙O内一点，经过点P的无数条弦中哪一条是最短的弦呢？我们可以将经过点P的弦分为两类，一类是经过点P且与经过点P的半径OA垂直的弦，如，弦BC⊥OA；另一类是经过点P且与经过点P的半径OA斜交的弦，如弦DE。
弦BC与弦DE哪一个较短呢？
连结OC。因为BC⊥OA，所以BC=2CP，CP=OC2OP2，所以BC=2OC2OP2。
作OG⊥DE于G，连结OD。则DE=2DG，在RtΔODG中，DG=OD－OG，所以DE=222DB
O
GPA图2
EC在RtΔOCP中，OD2OG2。
在RtΔOPG中，斜边OP大于直角边OG，所以OP>OG，又因为OC=OD，所以CP，BC，22
所以弦BC是过⊙O内点P最短的弦。
所以，经过圆内一点的最短的弦是过该点且与过该点的半径相垂直的弦。由此可见，过圆内一点的弦的长度是有范围的。例如，如图3，点P是半径为5cm的⊙O内一点，OP=3cm,则过点P的最长的弦的长度为10cm(即直径AB的长，过点P最短的弦的长度为8cm，（即CD=2CP=2OC2OP2=8cm），在本题的前提下，过点P的弦中，不存
在大于10cm或小于8cm的弦。
BOCPA图3D通过以上的学习，我想同学们一定想动手做一做了，请做下面两道题：
1、已知点D是半径为6cm的⊙O内的一点，且OD=2cm，则过点D的所有弦中最短的弦长为______。
2、已知点P是半径为5的⊙O内一点，OP=4，则过点P的所有弦中，弦长可能取的整数值为（）
A、5，4，3B、10，9，8，7，6，5，4，3C、10， 