2016年重庆市南开中学中考数学一模试卷（解析版）

2016年重庆市南开中学中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分），在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑

1．下列实数是无理数的是（　　）

A．﹣1 B．0 C．π D．

2．如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

3．将点（1，﹣2）向右平移3个单位得到新的点的坐标为（　　）

A．（1，﹣5） B．（4，﹣2） C．（1，1） D．（﹣2，2）

4．剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）：

下列四副图案中，不能用上述方法剪出的是（　　）

A． B． C． D．

5．下列计算正确的是（　　）

A．（a2）3=a5 B．（ab2）2=ab4 C．a4÷a=a4 D．a2•a2=a4

6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8，OC=5，则OD的长为（　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3

7．下列说法正确的是（　　）

A．四个数2、3、5、4的中位数为4

B．了解重庆初三学生备战中考复习情况，应采用普查

C．小明共投篮25次，进了10个球，则小明进球的概率是0.4

D．从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生是总体的一个样本

8．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（　　）

A．54个 B．90个 C．102个 D．114个

9．关于x的方式方程=3的解是正数，则m可能是（　　）

A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7

10．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，之后乙组的工作效率是原来的1.2倍，甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每200件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图，以下说法错误的是（　　）

A．甲组加工零件数量y与时间x的关系式为y甲=40x

B．乙组加工零件总量m=280

C．经过2小时恰好装满第1箱

D．经过4小时恰好装满第2箱

11．如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP沿CP翻折，点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上，且PB′⊥AD，若CD=3，BC=4，则BP的长度为（　　）

A． B． C． D．

12．如图，抛物线y=2x2+bx+c的顶点在△OAB的边OB、AB上运动（不经过点O，点A），已知A（0，2），B（﹣2，1），则下列说法错误的是（　　）

A．0＜b≤8 B．0＜c≤9 C．1+2c＞b D．b2＜8c﹣16

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上

13．2016年9月19日，重庆市第五届运动会开幕式将在溶陵区拉开大幕，组委会面向社会公开征集了主题门号、会徽、会歌，吉祥物等元素，共收到有效作品1600余件，数据1600用科学记数法表示为　　．

14．若实数a，b满足+|b+3|=0，则ab=　　．

15．两张形状大小背面完全相同的卡片上分别标有数字﹣4、﹣3、0、2，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，从中任意抽取两张，则所抽卡片的数字都是方程x2+2x﹣8=0的解的概率是　　．

16．如图，已知等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，若AB=2，则图中阴影部分的面积为　　．（结果保留π）

17．如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶上D点处测得条幅顶端A的仰角为36.5°，朝着条幅的方向走到台阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为64°，已知台阶DE的坡度为1：2，DC=2米，则条幅AB的长度为　　米．

（结果精确到0.1米，参考数据sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9，tan64°≈2.1）

18．如图，正方形ABCD，以AB为腰向外作等腰△ABE，连接DE交AB于点F，∠BAE的平分线交EF于点G，过D点作AG的垂线交GA的延长线于点H，已知tan∠EDA=，S△AEF=9，则AH的长为　　．

三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程中写在答题卡中对应的位置上

19．计算：|﹣3|﹣（﹣1）2016×（π﹣3）0﹣+（）﹣2．

20．2016年3月20日上午8时，重庆国际马拉松赛在南滨路鸣枪开赛，来自30个国家和地区的3万多名跑者朝着快乐奔跑，最终埃塞俄比亚选手夺得男子组冠军，而女子全程前三名则由中国选手包揽．某校课外活动小组为了调查该校学生对“马拉松”喜爱的情况，随机对该校学生进行了调查，调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“基本喜欢”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D．根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请解答下列总量：

请你补全两种统计图并估算该校600名学生中“非常喜欢”马拉松的人数．

四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程中写在答题卡中对应的位置上

21．化简：

（1）（a﹣2b）（a+2b）﹣（2a﹣b）2

（2）（﹣）÷．

22．如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．

23．富士康科技机关作为全球最大电子产品制造商，在“机器换人”的建设方面取得巨大进展，今年一月份它在大陆某“工业40”厂区的生产线上有A、B两种机器去组装小米5手机外壳（以下简称“外壳）”．每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个外壳，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个外壳．

（1）求今年一月份每小时一台A种机器人，一台B种机器人分别能组装多少个外壳；

（2）因市场销售火爆，二月份小米手机厂商决定在该厂区追加订单，该厂区随机对A、B两种机器人进行技术升级，二月底升级工作全面完成，升级后A种机器人每小时组装的外壳数量增加12%，B种机器人每小时组装的外壳数量增加15%，已知三月份投入生产的A种机器人的台数比B重机器人台数的2倍还多18台，且A、B两种机器人每小时组装的外壳数量之和不低于27160个，那么三月份该厂区最少应安排多少台B种机器人投入生产．

24．如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．

【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】

（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；

（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．

五、解答题:(本题共2小题，每小题12分，共24分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤)

25．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD=2CD，点E在AD边上．

（1）如图1，若∠ECD=30°，CE=4，求△AEC的面积；

（2）如图2，延长BA至点F使得AF=2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG于点H，连接AH，求证：FH=AH+DH；

（3）如图3，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°）得到线段AE′，连接CE′，点N始终为CE′的中点，连接DN，已知CD=AE=4，直接写出DN的取值范围．

26．已知抛物线y=﹣x2++4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC．

（1）求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；

（2）如图1，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NC⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1：2时，求动点P的运动时间t的值；

（3）如图2，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形顶点按顺时针顺序），当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．

2016年重庆市南开中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分），在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑

1．下列实数是无理数的是（　　）

A．﹣1 B．0 C．π D．

【考点】无理数．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：A、是整数，是有理数，故A选项错误；

B、是整数，是有理数，故B选项错误；

C、是无理数，故C选项正确；

D、是分数，是有理数，故D选项错误．

故选：C．

2．如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【考点】平行线的性质．

【分析】由直角三角板的特点可得：∠C=30°，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠CAE的度数．

【解答】解：∵∠C=30°，BC∥DE，

∴∠CAE=∠C=30°．

故选A．

3．将点（1，﹣2）向右平移3个单位得到新的点的坐标为（　　）

A．（1，﹣5） B．（4，﹣2） C．（1，1） D．（﹣2，2）

【考点】坐标与图形变化-平移．

【分析】把点（1，﹣2）的横坐标加3，纵坐标不变即可得到对应点的坐标．

【解答】解：将点P（1，﹣2）向右平移3个单位，

则点横坐标加3，纵坐标不变，即新的坐标为（4，﹣2）．

故选B．

4．剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）：

下列四副图案中，不能用上述方法剪出的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】剪纸问题．

【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．

【解答】解：由题意知，剪出的图形一定是轴对称图形，四个选项中，只有C不是轴对称图形，所以C不能用上述方法剪出．

故选C．

5．下列计算正确的是（　　）

A．（a2）3=a5 B．（ab2）2=ab4 C．a4÷a=a4 D．a2•a2=a4

【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】分别利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．

【解答】解：A、（a2）3=a6，故此选项错误；

B、（ab2）2=a2b4，故此选项错误；

C、a4÷a=a3，故此选项错误；

D、a2•a2=a4，正确．

故选：D．

6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8，OC=5，则OD的长为（　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3

【考点】垂径定理．

【分析】首先连接OB，由垂径定理即可求得BD的长，然后由勾股定理求得OD的长．

【解答】解：连接OB，

∵半径OC⊥弦AB，

∴BD=AB=×8=4，

在Rt△BOD中，OD===3．

故选D．

7．下列说法正确的是（　　）

A．四个数2、3、5、4的中位数为4

B．了解重庆初三学生备战中考复习情况，应采用普查

C．小明共投篮25次，进了10个球，则小明进球的概率是0.4

D．从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生是总体的一个样本

【考点】概率公式；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；中位数．

【分析】由中位数的定义得出选项A抽取；由调查的方式得出选项B错误；由概率公式得出选项C正确；与样本的定义得出选项D抽取；即可得出结论．

【解答】解：A、四个数2、3、5、4的中位数为3.5；故本选项错误；

B、了解重庆初三学生备战中考复习情况，应采用抽查；故本选项错误；

C、小明共投篮25次，进了10个球，则小明进球的概率是0.4；故本选项正确；

D、从初三体考成绩中抽取100名学生的体考成绩，这100名考生的体考成绩是总体的一个样本；故本选项错误；

故选：C．

8．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（　　）

A．54个 B．90个 C．102个 D．114个

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．

【解答】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形．第2层包括18个正三角形．此后，每层都比前一层多12个．依此递推，第8层中含有正三角形个数是6+12×7=90个．

故选：B．

9．关于x的方式方程=3的解是正数，则m可能是（　　）

A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7

【考点】分式方程的解．

【分析】先求出x的值，再根据解为正数列出关于m的不等式，求得m的取值范围，再得出可能的m的值．

【解答】解：去分母得，2x+m=3x﹣6，

移项合并得，x=m+6，

∵x＞0，

∴m+6＞0，

∴m＞﹣6，

∵x﹣2≠0，

∴x≠2，

∴m+6≠2，

∴m≠﹣4，

∴m的取值范围为m＞﹣6且m≠﹣4，

故选B．

10．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，之后乙组的工作效率是原来的1.2倍，甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每200件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图，以下说法错误的是（　　）

A．甲组加工零件数量y与时间x的关系式为y甲=40x

B．乙组加工零件总量m=280

C．经过2小时恰好装满第1箱

D．经过4小时恰好装满第2箱

【考点】一次函数的应用．

【分析】先根据（6，240），利用待定系数法求一次函数解析式进行判断；再利用乙组原来的工作效率得出更换设备后的工作效率，求得乙组加工零件的总量进行判断；最后利用函数解析式列出方程，求得当0≤x≤2时，当2＜x≤3时，以及当3＜x≤6时x的值，判断是否符合题意即可．

【解答】解：∵图象经过原点及（6，240），

设解析式为y=kx，则6k=240，

解得k=40，

∴甲组加工零件数量y与时间x的关系式为y甲=40x（0＜x≤6），故（A）正确；

∵乙2小时加工100件，

∴乙的加工速度是每小时50件，

∵乙组更换设备后，乙组的工作效率是原来的1.2倍，

∴乙组的工作效率是每小时加工：50×1.2=60件，

∴m=100+60×（6﹣3）=280，故（B）正确；

乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：y=100+60（x﹣3）=60x﹣80，

当0≤x≤2时，40x+50x=200，解得：x=（不合题意）；

当2＜x≤3时，100+40x=200，解得：x=（符合题意）；

∴经过2小时恰好装满第1箱，故（C）正确；

∵当3＜x≤6时，40x+（60x﹣80）=200×2，

解得x=4.8（符合题意）；

∴经过4.8小时恰好装满第2箱，故（D）错误．

故选（D）

11．如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP沿CP翻折，点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上，且PB′⊥AD，若CD=3，BC=4，则BP的长度为（　　）

A． B． C． D．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．

【分析】由由折叠的性质可得：PB′=PB，∠PB′C=∠B，又由在平行四边形ABCD中，PB′⊥AD，求得△B′CD是直角三角形，继而求得DB′的长，然后设BP=x，在Rt△AB′P中，利用勾股定理即可求得答案．

【解答】解：由折叠的性质可得：PB′=PB，∠PB′C=∠B，

∵四边形ABCD是平行四边形，PB′⊥AD，

∴∠B=∠D，∠PB′A=90°，

∴∠D+∠CB′D=90°，

∴∠DCB′=90°，

∵CD=3，BC=4，

∴AD=B′C=BC=4，

∴DB′==5，

∴AB′=DB′﹣AD=1，

设BP=x，则PB′=x，PA=3﹣x，

在Rt△AB′P中，PA2=AB′2+PB′2，

∴x2+12=（3﹣x）2，

解得：x=，

∴BP=，

故选A．

12．如图，抛物线y=2x2+bx+c的顶点在△OAB的边OB、AB上运动（不经过点O，点A），已知A（0，2），B（﹣2，1），则下列说法错误的是（　　）

A．0＜b≤8 B．0＜c≤9 C．1+2c＞b D．b2＜8c﹣16

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据对称轴为x=﹣判断A，根据x=﹣2，y=1判断B，根据x=﹣时，y＞0判断C，根据抛物线与x轴无交点判断D．

【解答】解：∵﹣2≤﹣＜0，

∴0＜b≤8，A正确；

∵x=﹣2，y=1，

∴8﹣2b+c=1，

∴2b=7+c，

∵0＜2b≤16，

∴0＜7+c≤16，又c＞0，

∴0＜c≤9，B正确；

当x=﹣时，y＞0，

∴﹣b+c＞0，

∴1+2c＞b，C正确；

∵抛物线与x轴无交点，

∴b2﹣4ac＜0，

∴b2﹣8c＜0，D错误，

故选：D．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上

13．2016年9月19日，重庆市第五届运动会开幕式将在溶陵区拉开大幕，组委会面向社会公开征集了主题门号、会徽、会歌，吉祥物等元素，共收到有效作品1600余件，数据1600用科学记数法表示为　1.6×103　．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：数据1600用科学记数法表示为1.6×103，

故答案为：1.6×103．

14．若实数a，b满足+|b+3|=0，则ab=　﹣6　．

【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．

【分析】根据非负数的性质列出算式求出a、b的值，计算即可．

【解答】解：由题意的，a﹣2=0，b+3=0，

解得，a=2，b=﹣3，

则ab=﹣6，

故答案为：﹣6．

15．两张形状大小背面完全相同的卡片上分别标有数字﹣4、﹣3、0、2，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，从中任意抽取两张，则所抽卡片的数字都是方程x2+2x﹣8=0的解的概率是　　．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先解方程，进而用树状图表示出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．

【解答】解：x2+2x﹣8=0

（x﹣2）（x+4）=0，

解得：x1=2，x2=﹣4，

如图所示：

，

由树状图可得一共有12种可能，符合题意的有2种情况，

故所抽卡片的数字都是方程x2+2x﹣8=0的解的概率是： =．

故答案为：．

16．如图，已知等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，若AB=2，则图中阴影部分的面积为　π　．（结果保留π）

【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质；切线的性质．

【分析】根据等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，于是得到BD=BE，CE=CF，∠B=∠C=60°，BC=AB=2，推出△BDE和△CEF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BED=∠CEF=60°，BE=CE=，然后由扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：∵等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，

∴BD=BE，CE=CF，∠B=∠C=60°，BC=AB=2，

∴△BDE和△CEF是等边三角形，

∴∠BED=∠CEF=60°，BE=CE=，

∴∠DEF=60°，DE=BE=，

∴阴影部分的面积==π，

故答案为：π．

17．如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶上D点处测得条幅顶端A的仰角为36.5°，朝着条幅的方向走到台阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为64°，已知台阶DE的坡度为1：2，DC=2米，则条幅AB的长度为　7.8　米．

（结果精确到0.1米，参考数据sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9，tan64°≈2.1）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】要求AB的长，只要构造出直角三角形，利用锐角三角函数进行求解即可，作DF⊥AB于点F，然后根据题目中的数量关系，可以表示出关于AB的等式，从而可以得到AB的值．

【解答】解：作DF⊥AB于点F，如右图所示，

由题意可得，DF=CB，

∵台阶DE的坡度为1：2，DC=2米，

∴CE=2CD=4米，

∵∠AFD=90°，∠ADF=36.5°，DC=2米，tan∠ADF=，

∴tan36.5°=，

即DF=，

又∵∠ABE=90°，∠AEB=64°，CE=4米，CB=DF，tan∠AEB=，

∴BE=，

即DF﹣4=，

∴﹣4=，

解得，AB≈7.8米，

故答案为：7.8．

18．如图，正方形ABCD，以AB为腰向外作等腰△ABE，连接DE交AB于点F，∠BAE的平分线交EF于点G，过D点作AG的垂线交GA的延长线于点H，已知tan∠EDA=，S△AEF=9，则AH的长为　　．

【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．

【分析】由于△AEB是等腰三角形，AG是△AEB的平分线，所以延长AG交EB于点I，连接BG，由题意可证明∠HGD=∠HDG=45°，∠BGF=90°，所以∠GBF=∠ADF，利用设AH=x后，用锐角三角形函数可表示出GF、DF的长度，利用△AEF的面积可求出△AHD的面积，进而列出方程即可求出AH的长度．

【解答】解：延长AG交EB于点I，连接BG，

∵tan∠EDA==，AD=AB，

∴，

∴，

∴，

∴S△EBF=3，

∴S△AEB=S△AEF+S△EBF=12，

∵AB=AE，AG平分∠EAB，

∴S△AIB=S△AEB=6，

∵DH⊥GH，AI⊥EB

∴∠IAB=∠HDA，

在△AIB与△DHA中，

，

∴△AIB≌△HDA（AAS），

∴AH=IB，

∵AB=AD=AE，

∴∠AED=∠EDA，

∵∠EAI=∠BAI=∠HDA，

∴∠AGD=∠EAI+∠AED=∠HDA+∠ADE，

即∠AGD=∠HDG=45°，

∴∠EGI=∠GEI=45°，

∴EI=IG

∴GD=HD，

设AH=x，

∴IB=EI=IG=x，BG=x

∵∠BGF=90°，

∴∠GBF=∠EDA，

∴tan∠GBF=，

∴=，

∴GF=x，

由勾股定理可得：BF=x，

∴AB=4BF=5x，

∴AD=AB=5x，

∴cos∠EDA==，

∴DF=AD=x，

∴DG=DF+GF=x，

∵sin∠HGF==，

∴HD=7x，

S△AIB=S△ADH=6，

∴AH•HD=6，

∴×7x2=6，

∴x=，

即AH=

故答案为

三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程中写在答题卡中对应的位置上

19．计算：|﹣3|﹣（﹣1）2016×（π﹣3）0﹣+（）﹣2．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式|﹣3|﹣（﹣1）2016×（π﹣3）0﹣+（）﹣2的值是多少即可．

【解答】解：|﹣3|﹣（﹣1）2016×（π﹣3）0﹣+（）﹣2

=3﹣1×1﹣3+4

=3﹣1﹣3+4

=3

20．2016年3月20日上午8时，重庆国际马拉松赛在南滨路鸣枪开赛，来自30个国家和地区的3万多名跑者朝着快乐奔跑，最终埃塞俄比亚选手夺得男子组冠军，而女子全程前三名则由中国选手包揽．某校课外活动小组为了调查该校学生对“马拉松”喜爱的情况，随机对该校学生进行了调查，调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“基本喜欢”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D．根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请解答下列总量：

请你补全两种统计图并估算该校600名学生中“非常喜欢”马拉松的人数．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】根据B类的人数和所占的百分比求出总人数，再根据A类的人数求出A类所占的百分比，再用1减去A、B、D所占的百分比，求出C类所占的百分比，从而得出C、D类的男生人数，即可补全统计图，再用该校的总人数乘以非常喜欢所占的百分比，求出非常喜欢”马拉松的人数．

【解答】解：根据题意得：

=40（人），

A类型所占的百分比是：×100%=45%，

C类型所占的百分比是：1﹣10%﹣15%﹣45%=30%，

C类型的男生人数是：40×30%﹣8=4（人），

D类型的男生人数是：40×10%﹣3=1（人），

补图如下：

600×45%=270（人），

答：该校600名学生中“非常喜欢”马拉松的人数为270．

四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程中写在答题卡中对应的位置上

21．化简：

（1）（a﹣2b）（a+2b）﹣（2a﹣b）2

（2）（﹣）÷．

【考点】分式的混合运算；完全平方公式；平方差公式．

【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；

（2）先化简括号内的式子，然后根据分式的除法可以解答本题．

【解答】解：（1）（a﹣2b）（a+2b）﹣（2a﹣b）2

=a2﹣4b2﹣4a2+4ab﹣b2

=﹣3a2﹣5b2+4ab；

（2）（﹣）÷

=

=

=

=．

22．如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；

（2）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；

（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．

【解答】解：（1）设点A坐标为（﹣2，m），点B坐标为（n，﹣2）

∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点

∴将A（﹣2，m）B（n，﹣2）代入反比例函数y2=﹣可得，m=4，n=4

∴将A（﹣2，4）、B（4，﹣2）代入一次函数y1=kx+b，可得

，解得

∴一次函数的解析式为y1=﹣x+2；

（2）在一次函数y1=﹣x+2中，

当x=0时，y=2，即N（0，2）；当y=0时，x=2，即M（2，0）

∴S△AOB=S△AON+S△MON+S△MOB=×2×2+×2×2+×2×2=2+2+2=6；

（3）根据图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜4

23．富士康科技机关作为全球最大电子产品制造商，在“机器换人”的建设方面取得巨大进展，今年一月份它在大陆某“工业40”厂区的生产线上有A、B两种机器去组装小米5手机外壳（以下简称“外壳）”．每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个外壳，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个外壳．

（1）求今年一月份每小时一台A种机器人，一台B种机器人分别能组装多少个外壳；

（2）因市场销售火爆，二月份小米手机厂商决定在该厂区追加订单，该厂区随机对A、B两种机器人进行技术升级，二月底升级工作全面完成，升级后A种机器人每小时组装的外壳数量增加12%，B种机器人每小时组装的外壳数量增加15%，已知三月份投入生产的A种机器人的台数比B重机器人台数的2倍还多18台，且A、B两种机器人每小时组装的外壳数量之和不低于27160个，那么三月份该厂区最少应安排多少台B种机器人投入生产．

【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；

（2）根据题意可以列出相应的一元一次不等式，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）设今年一月份每小时一台A种机器人能组装x个外壳，一台B种机器人能组装y个外壳，

，

解得，，

即今年一月份每小时一台A种机器人能组装250个外壳，一台B种机器人能组装200个外壳；

（2）设三月份该厂区最少应安排x台B种机器人投入生产，

250（1+12%）（2x+18）+200（1+15%）x≥27160，

解得，x≥26.2，

即三月份该厂区最少应安排27台B种机器人投入生产．

24．如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．

【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】

（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；

（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．

【考点】平方差公式．

【分析】（1）根据相邻两个奇数的立方差，可得答案；

（2）根据相邻两个奇数的立方差，麻辣数的定义，可得答案．

【解答】解：设k为整数，则2k+1、2k﹣1为两个连续奇数，

设M为“麻辣数”，

则M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2；

（1）98=53﹣33，故98是麻辣数；M=24k2+2是偶数，故169不是麻辣数；

（2）令M≤2016，则24k2+2≤2016，

解得k2≤＜84，

故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，

故M的和为24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．

五、解答题:(本题共2小题，每小题12分，共24分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤)

25．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD=2CD，点E在AD边上．

（1）如图1，若∠ECD=30°，CE=4，求△AEC的面积；

（2）如图2，延长BA至点F使得AF=2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG于点H，连接AH，求证：FH=AH+DH；

（3）如图3，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°）得到线段AE′，连接CE′，点N始终为CE′的中点，连接DN，已知CD=AE=4，直接写出DN的取值范围．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据30°的直角三角形求CD和ED，再利用面积公式求△AEC的面积；

（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△AFM≌△ADH，得AM=AH，FM=DH，则△MAH是等腰直角三角形，有MH=AH，根据线段的和代入得结论；

（3）根据将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜30°）得到线段AE′，先计算当AE旋转时DN的最小值和最大值，当α=0°时，DN最小；当α=180°时，DN最大，分别计算，写出结论．

【解答】解：（1）在Rt△EDC中，∵∠EDC=30°，

∴ED=EC=×4=2，cos30°=，

∴DC=EC•cos30°=4×=2，

∴AE=2DC﹣ED=4﹣2，

∴S△AEC=×AE×DC=（4﹣2）×2=12﹣2；

（2）过A作AM⊥AH，交FG于M，

∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°，

又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°，

∴∠FAM=∠DAH，

∵AF∥CD，

∴∠F=∠FGD

∵DH⊥EG，

∴∠DHE=∠HDG+∠FGD=90°，

∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°，

∴∠FGD=∠EDH，

∴∠F=∠EDH，

又∵AF=2CD，AD=2CD，

∴AF=AD，

∴△AFM≌△ADH，

∴AM=AH，FM=DH，

∴△MAH是等腰直角三角形，

∴MH=AH，

∵FH=MH+FM，

∴FH=AH+DH；

（3）∵线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜306°）得到线段AE′，

∴E′的运动轨迹是一个以点A为圆心半径为4的圆，

当α=0°时，点E′在AD中点，如图3，

∵四边形ABCD为矩形，CD=AE=4，AD=2CD，

∴∠CDE′=90°，DE′=CD=4，

∴△CDE′是等腰三角形，

又∵N是CE′的中点，

∴CE′⊥DN，

此时DN的值最小为2；

当α=180°时，E′在AD的延长线上，DN最长，

过N作CD垂线交CD于点M，

∵DE′=AE′+AD=12，CD=4，

∵MN⊥DC，DE′⊥DC，

∴MN∥DE′，

∴△CDE′∽△CMN，

∴=，

∴MN=6，

则CM=DM=2，

∴在Rt△DMN中，DN==2，

∵0°＜α＜360°

∴2＜DN≤2．

26．已知抛物线y=﹣x2++4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC．

（1）求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；

（2）如图1，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NC⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1：2时，求动点P的运动时间t的值；

（3）如图2，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形顶点按顺时针顺序），当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）令y=0，解方程﹣x2++4=0即可求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线BC．

（2）如图1中，设P（a，0），只要证明MN=PB，列出方程即可解决问题．

（3）①如图2中，当轴对称图形为筝型时，列出方程求出运动时间即可，②如图3中，当轴对称图形是正方形时，列出方程求出时间即可．

【解答】解：（1）令y=0，则﹣x2++4=0，解得x=4或﹣3，

∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（4，0），

设直线BC解析式为y=kx+b，把B（4，0）．C（0，4）代入

得，解得，

∴直线BC解析式为y=﹣x+4．

（2）如图1中，∵PN∥OC，NK⊥BC，

∴∠MPB=∠MKN=90°，

∵∠PMB=∠NMK，

∴△MNK∽△MPB，

∵△MNK与△MPB的面积比为1：2，

∴BM=MN，

∵OB=OC，

∴∠PBM=45°，

∴BM=PB，

∴MN=PB，设P（a，0），则MN=﹣a2+a+4+a﹣4=﹣a2+a，BP=4﹣a，

∴﹣a2+a=4﹣a，

解得a=3或4（舍弃），

∴PB=1，t=．

（3）如图2中，当轴对称图形为筝型时，PF=PG，GM=FM，

∵BP=PG=AQ，PQ=PF，

∴AQ=PQ=5t，

过点Q作QN⊥AP，则AN=NP，由△AQN∽△ACQ，

∴=，

∴=，

∴AN=3t，

∴AP=2AN=6t，

∵AP+BP=AB，

∴5t+6t=7，

∴t=，

∴PB=PF=，

由△ACO∽△FPR∽△MFT，

∴=，

∴FR=，TF=，

∴=，

∴FM=，

∴S=2××PF×FM=．

②如图3中，当轴对称图形是正方形时，

3t+5t=7，

∴t=，

∴S=．

2016年10月20日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/479844a103d276a20029bd64783e0912a2167c9a.html