2016年江苏南通市、泰州市、扬州市、淮安市高三二模数学试卷

2016年江苏南通市、泰州市、扬州市、淮安市高三二模数学试卷

一、填空题（共14小题；共70分）

1. 若复数 满足，则复数 的实部为  ．

2. 若集合，，，则实数 的值为  ．

3. 执行如图所示的流程图，则输出的 值是  ．

4. 为了了解一批灯泡（共 只）的使用寿命，从中随机抽取了 只进行测试，其使用寿命（单位：）如下表：

根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于 的灯泡只数是  ．

5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有 个版块的试题，主题分别是：立德树人，社会主义核心价值观，依法治国理念，中国优秀传统文化，创新能力．某参赛队从中任选 个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是  ．

6. 已知函数 的图象如图所示，那么 的值是  ．

7. 已知函数，若当且仅当 时， 取得最大值，则正数 的值为  ．

8. 在等比数列 中，已知，公比．若，， 成等差数列，则 的值是  ．

9. 在体积为 的四面体 中，若，，，，则 长度的所有值为  ．

10. 在平面直角坐标系 中，过点 的直线与圆 相切于点，与圆 相交于点，，且，则正数 的值为  ．

11. 已知 是定义在 上的偶函数，且对于任意的，满足．若当 时，，则函数 在 上的零点个数为  ．

12. 如图，在同一平面内，点 位于两平行直线， 的同侧，且 到， 的距离分别为，．点， 分别在， 上，若，则 的最大值是  ．

13. 若实数， 满足，则 的最小值是  ．

14. 若存在，使得 则实数 的取值范围是  ．

二、解答题（共6小题；共78分）

15. 在斜三角形 中，已知．

Ⅰ 求角 的大小；

Ⅱ 若，，求 的周长．

16. 如图，在正方体 中，，， 分别为棱，， 的中点．

Ⅰ 求证：；

Ⅱ 求证：．

17. 植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于 的围墙．现有两种方案：

方案 ①，多边形为直角三角形，如图（1）所示，其中

；

方案 ②，多边形为等腰梯形，如图（2）所示，其中．

请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

18. 如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为． 为椭圆上异于顶点的一点，点 满足．

Ⅰ 若点 的坐标为，求椭圆的方程；

Ⅱ 设过点 的一条直线交椭圆于， 两点，且，直线， 的斜率之积为，求实数 的值．

19. 已知函数，，其中 是实数．

Ⅰ 若，解不等式；

Ⅱ 若，求关于 的方程 的实数根的个数．

20. 设数列 的各项均为正数， 的前 项和．

Ⅰ 求证：数列 为等差数列．

Ⅱ 等比数列 的各项均为正数，，且存在整数，使得．

①求数列 的公比 的最小值（用 表示）；

②当 时，，求数列 的通项公式．

答案

第一部分

1.

【解析】由题意知，实部为．

2.

【解析】因为，又，所以，所以．

3.

【解析】第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，，，故输出的 的值是．

4.

【解析】使用寿命不低于 的灯泡只数是．

5.

【解析】从 个主题中选 个，基本事件有 个，其中“立德树人”的主题被选中的事件有 个，故所求的概率为．

6.

【解析】由题图知，，解得，，所以．

7.

【解析】由题意知，，则，，当 时，正数，满足题意．

8.

【解析】由题意知，

即，

所以，

故，解得 或（舍去），

所以．

9. ，

【解析】因为四面体 的体积，

所以，

所以 或．

当 时，，

所以；

当 时，，

所以．

综上， 长度的所有值为，．

10.

【解析】如图．

在 中，，所以，故直线 的方程为．

由题意知，所以，化简得，解得 或（舍去），故正数 的值为．

11.

【解析】作出函数 在 上的图象如图所示，

则函数 在 上的零点个数即为 的图象与直线 在 上的交点的个数．由图象知，交点个数为．

12.

【解析】建立平面直角坐标系如图所示，

则点 的坐标为．

设点 的坐标为，点 的坐标为，则，．

由题意，得，且．

因为，

所以，

当且仅当 时取等号．

13.

【解析】由，得．

因为，

令，

则

当且仅当 时取等号．

14.

【解析】令，由，知．

当 时， 符合题意；

当 时，由，得，

所以．

由，得．

令，由题意知，

又 在 上恒成立，

即 在 上是增函数，

所以，

所以．

由，得．

令，由题意知，

又 在 上恒成立，

即 在 上是减函数，

所以，

所以．

综上，实数 的取值范围为．

第二部分

15. （1） 因为，

所以．

又在斜三角形 中，

，

所以，

即，

所以．

因为，

所以．

      （2） 在 中，，，

则．

由正弦定理，

得，

故

，

所以 的周长为．

16. （1） 在正方体 中，

因为， 分别为棱， 的中点，

所以．

又，，故，

所以四边形 为平行四边形，

所以．

又，，

所以．

      （2） 如图，连接，在正方形 中，．

因为， 分别为棱， 的中点，

所以．

所以．

在正方体 中，

因为，

又，

所以．

因为，，，

所以．

又，

所以．

17. 设方案 ①② 中多边形苗圃的面积分别为，．

方案 ①：设，

则（当且仅当 时取等号）．

方案 ②：设，

则，．

由，

得（舍去）

因为，

所以．

当 变化时，， 的变化情况如下：

所以当 时，．

因为，

所以建苗圃时用方案 ②，且．

答：方案①，②中苗圃的最大面积分别为，，建苗圃时用方案②，且．

18. （1） 因为，

又点 的坐标为，

所以点 的坐标为，

代入椭圆的方程，得

又椭圆的离心率为，

所以

由，得，，

故椭圆的方程为．

      （2） 设点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为．

因为，

所以点 的坐标为．

因为，所以，

即

解得

代入椭圆的方程，得，

即

因为点， 在椭圆上，

所以，

又直线， 的斜率之积为，

即，

结合 知

将 代入，得，

解得．

19. （1） 当 时，，．

由 得．

此时，原不等式为，即，

解得 或，

所以原不等式的解集为．

      （2） 由方程，得

由 得，

所以，．

方程 两边平方，整理得

当 时，由 得，

所以原方程有唯一解．

当 时，

由 得判别式，

（i）当 时，，方程 有两个相等的实数根，

所以原方程有唯一的解．

（ii）当 且 时，方程 整理为，

解得，．

由于，

所以，其中，，即．

故原方程有两个解．

（iii）当 时，由（ii）知，即，

故 不是原方程的解．

又，

故原方程有唯一解．

综上所述，当 或 时，原方程有唯一解；

当 且 时，原方程有两个解．

注：（ii）中，另解：

故方程 的两个实数根均大于，

所以原方程有两个解．

20. （1） 因为

所以

，得，．

因为数列 的各项均为正数，

所以，，，

所以，，，

所以数列 为等差数列．

      （2） ①在 中，令，得，

所以，．

由，得，

所以

由，得，

即

当 时， 恒成立．

当 时， 两边取自然对数，

整理得，

记，

则，

记，，

则，

故 在 上单调递增，

所以，

所以，

故 在 上单调递减，

所以 的最大值为．

中，，

解得．

当 时，同理有，

所以公比 的最小值为（整数）．

②由题意知，．

且（整数），

所以，，

所以，

当 时，，

只能，此时，不符合题意；

当 时，，

只能，此时，不符合题意；

当 时，，

只能，此时，符合题意．

综上，．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/00d3d2f76429647d27284b73f242336c1fb93004.html