天津市2020学年中考数学试题研究与圆有关的证明与计算

与圆有关的证明与计算

1. 在△ABC中，∠ABC＝45°，∠C＝60°，⊙O经过点A、B，与BC交于点D，连接AD.

(Ⅰ)如图①，若AB是⊙O的直径，交AC于点E，连接DE，求∠ADE的大小．

(Ⅱ)如图②，若⊙O与AC相切，求∠ADC的大小．

第1题图

解：(Ⅰ)如解图①，连接BE，

∵∠ABC＝45°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝75°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°.

∴∠ABE＝∠AEB－∠BAC＝15°.

∵∠ABE＝∠ADE，

∴∠ADE＝15°；

(Ⅱ)如解图②，连接OA，OD，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OAC＝90°.

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOD＝90°.

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝45°.

∴∠DAC＝∠OAC－∠OAD＝45°.

∵∠C＝60°，

∴∠ADC＝75°.

第1题解图

2. 如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，点C在AB延长线上，且BC＝2，点D是⊙O上一点，连接CD.

(Ⅰ)如图①，若CD与⊙O相切，求CD的长；

(Ⅱ)如图②，若CD与⊙O的另一个交点为点E，且E为CD的中点，连接OD、AE交于点F，求CD的长．

第2题图

解：(Ⅰ)如解图①，连接OD，

∵CD与⊙O相切，

∴OD⊥CD，即∠ODC＝90°.

又∵AB是⊙O的直径，且AB＝4，BC＝2，

∴OD＝OB＝OA＝2，OC＝4.

∴Rt△COD中，CD＝＝2；

(Ⅱ)如解图②，连接BE，∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°.

∵点E为CD的中点，BC＝OB＝OD＝2，

∴BE∥OD，BE＝OD＝1.

∴∠AFO＝∠AEB＝90°.

∴OD⊥AE，AF＝EF.

又∵O是AB的中点，∴OF＝BE＝.

∴DF＝OD－OF＝2－＝.

∵Rt△ABE中，AE＝＝，

∴EF＝.

∴Rt△DEF中，DE＝＝.

∴CD＝2DE＝2.

第2题解图

3. 如图，已知平行四边形ABCD，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，且交AD于点F.

(Ⅰ)如图①，连接BE，求∠ABE的大小；

(Ⅱ)如图②，连接CF，交⊙O于点G，连接AG，若∠DFC＋∠DCF＝70°，求∠AGF的大小．

第3题图

解：(Ⅰ)如解图①，连接OE、AE，

∵⊙O与CD相切于点E，

∴OE⊥CD.

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD.∴OE⊥AB.

∵AB是⊙O的直径，

∴OA＝OB，∠AEB＝90°.

∴AE＝BE.

∴∠ABE＝∠BAE＝45°；

(Ⅱ)∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.∴∠BCF＝∠DFC.

∵∠DFC＋∠DCF＝70°，

∴∠BCF＋∠DCF＝70°.

∴∠BCD＝70°.∴∠BAD＝70°.

如解图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°.

∴∠ABF＝90°－70°＝20°.

∴∠AGF＝∠ABF＝20°.

第3题解图

4. 已知AB是⊙O的弦，C是劣弧的中点，D是⊙O上一点，CD交AB于点E，点P为BA的延长线上一点，PD＝PE.

(Ⅰ)如图①，求证：PD是⊙O的切线；

(Ⅱ)如图②，当AB为⊙O的直径时，连接BC，若tan∠BCD＝2，求tan∠APD的值．

第4题图

(Ⅰ)证明：如解图①，连接OC、OD，

∵点C是劣弧的中点，

∴OC⊥AB.

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC.

∵PD＝PE，∴∠PDE＝∠PED.

又∵∠PED＝∠CEB，∠CEB＋∠OCD＝90°，

∴∠PDE＋∠ODC＝90°，即∠PDO＝90°.

∵OD是⊙O的半径，

∴PD是⊙O的切线；

(Ⅱ)解：如解图②，连接AD、OD、BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.

∵∠BAD＝∠BCD，

∴tan∠BAD＝＝tan∠BCD＝2.

∵PD是⊙O的切线，∴∠ODP＝90°.

∴∠PBD＝∠ADP，又∵∠P＝∠P，

∴△APD∽△DPB.

∴＝＝＝.

设PA＝a，则PD＝2a，PB＝4a，

则AB＝3a，∴OD＝a.

∴tan∠APD＝＝.

图①图②

第4题解图

5. 已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO.

(Ⅰ)如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；

(Ⅱ)如图②，若AD＝AC，E是⊙O上一点，连接AE、BE，求∠E的大小．

第5题图

(Ⅰ)证明：∵AD是⊙O的切线，切点为A，

∴DA⊥AO.

∴∠DAO＝90°.

∴∠DAB＋∠BAO＝90°.

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°.

∴∠BAO＋∠OAC＝90°.

∴∠OAC＝∠DAB；

(Ⅱ)解：∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠C.

∵AD＝AC，

∴∠D＝∠C.

∴∠OAC＝∠D.

∵∠OAC＝∠DAB，

∴∠DAB＝∠D.

∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，

∴∠ABC＝2∠D.

∵∠D＝∠C，∴∠ABC＝2∠C.

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC＋∠C＝90°.

∴2∠C＋∠C＝90°.

∴∠C＝30°.

∴∠E＝∠C＝30°.

6. 已知▱ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切于点A.

(Ⅰ)如图①，连接AC，若∠D＝32°，求∠ACD的大小；

(Ⅱ)如图②，延长DC交⊙O于点E，连接BE，若sin∠E＝，⊙O的半径为13，求BC的长．

第6题图

(Ⅰ)如解图①，连接OA，∵AD与⊙O相切于点A，

∴OA⊥AD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，BC∥AD，∠B＝∠D＝32°.

∴OA⊥BC，∠ACD＝∠BAC.

∴AB＝AC.∴∠B＝∠ACB.

∴∠BAC＝180°－2∠B＝116°.

∴∠ACD＝116°；

(Ⅱ)如解图②，作直径BF，连接CF.

∵BF为⊙O的直径，

∴∠BCF＝90°.

∵∠F＝∠E，BF＝26，

∴在Rt△BCF中，sin∠F＝＝sin∠E＝.

∴BC＝×26＝24.

第6题解图

7. 已知AB是⊙O的直径，AB＝10，弦BC＝6，点D在⊙O上，与点C分别在AB两侧，过点D作⊙O的切线PD.

(Ⅰ)如图①，DP与AB延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求AD的长．

(Ⅱ)如图②，若切线PD∥AB，求AD的长

图① 图②

第7题图

解：(Ⅰ)如解图①，连接OD，

∵PC和PD为⊙O的切线，

∴PC＝PD，OP平分∠CPD.

∴PA⊥CD.

∴＝.∴BD＝BC＝6.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

∴AD＝＝8；

第7题解图①

(Ⅱ)如解图②，连接OD，BD，∵PD为⊙O的切线，

∴PD⊥OD.

∵AB∥PD，

∴OD⊥AB.

∴＝.

∴AD＝BD.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，∠ACB＝90°.

∴△ABD为等腰直角三角形.

∴AD＝AB＝5.

第7题解图②

8. 在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC、AC于点D、点E，且AE＝BE.

(Ⅰ)如图①，求∠EBC的度数；

(Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点G，交AC于点F，若⊙O的直径为10，求BG的长．

第8题图

解：(Ⅰ)∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°.

∵AE＝BE，

∴∠A＝∠ABE＝45°.

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝×(180°－45°)＝67.5°，

∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝22.5°；

(Ⅱ)如解图，连接OD、AD，∵FG是⊙O的切线，

∴GF⊥OD.∴∠ODG＝90°.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

∴AD⊥BC.

∵AB＝AC，

∴BD＝DC.

∵OA＝OB，

∴OD∥AC.

∴∠GOD＝∠BAC＝45°.

∴cos∠GOD＝＝，

∵⊙O的直径为10，

∴OB＝OD＝5.

∴OG＝5.

∴BG＝5－5.

第8题解图

9. 正方形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交CD延长线于点P.

(Ⅰ)如图①，求∠P的大小；

(Ⅱ)如图②，过点P作⊙O的另一条切线交⊙O于点E，连接BE，若∠CBE＝20°，求∠ABE和∠APE的大小．

第9题图

解：(Ⅰ)如解图①，连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，

∴AC是⊙O的直径．

∵AP是⊙O的切线，

∴∠OAP＝90°.

∴∠PAD＝90°－∠CAD＝45°.

∵∠ADP＝∠ADC＝90°，

∴∠P＝∠PAD＝45°；

(Ⅱ)如解图②，连接AC、AE、CE、OE，

∴∠CAE＝∠CBE＝20°.

∵PA、PE是⊙O的切线，OA＝OE，

∴∠OAP＝∠OEP＝90°，∠AEO＝∠CAE.

∴∠AOE＝180°－2∠CAE＝140°，∠PAE＝∠PEA＝90°－20°＝70°.

∴∠ABE＝∠AOE＝70°，∠APE＝180°－2∠PAE＝40°.

图①图②

第9题解图

10. 已知⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E.

(Ⅰ)如图①，若＝，AD是⊙O的直径，求证：AD·AC＝2BD·BC；

(Ⅱ)如图②，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．

第10题图

(Ⅰ)证明：如解图①，连接OB交AC于点F

∵＝，

∴∠BAC＝∠ADB＝∠ACB，OB⊥AC，且AF＝CF＝AC.

又∵AD为⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，又∵∠CFB＝90°.

∴△CBF∽△DAB.

∴＝，故CF·AD＝BD·BC.

∴AD·AC＝2BD·BC；

(Ⅱ)解：如解图②，连接AO并延长交⊙O于点F，连接DF，

∴AF为⊙O的直径，

∴∠ADF＝90°，

过O作OH⊥AD于点H，

∴AH＝DH，

∵AO＝OF，

∴OH∥DF，DF＝2OH＝4，

∵AC⊥BD，

∴∠AEB＝∠ADF＝90°，

∵∠ABD＝∠F，

∴△ABE∽△AFD，

∴∠BAE＝∠DAF.

∴＝.

∴BC＝DF＝4.

图①图②

第10题解图

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e93bb2db5222aaea998fcc22bcd126fff7055dc3.html