15.3分式方程
一、内容和内容解析
1、内容
分式方程的实际运用
2、内容解析
我们生活在一个存在大量问题涉及数量关系分析的世界，教科书中提供了大量的现实素材，为分式方程提供了现实背景，通过这些实际问题，反映出分式方程既来自实际又服务于实际，进一步加强学生对于方程是解决实际问题的一种重要数学模型的认识。
分式方程是方程模型的一种，是刻画现实世界的有效模型，在数与代数中占有重要地位.分式方程与实际生活紧密联系，更能充分体现数学的科学性，体现数学的应用价值，能帮助学生从数量关系角度更准确清晰地认识、描述和把握现实世界，使学生完善知识结构，提高计算能力，获得必需的数学能力.
给予以上分析，确定本课的教学重点：列分式方程解决实际问题.
二、目标和目标解析
1、目标
（1）用分式方程的数学模型解决现实情境中的实际问题．
（2）经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力．
（3）经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣．
2、目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能正确地理解问题情境，会分析题意找出相等关系，并能列出分式方程解决。
达成目标（2）的标志是：学生能分析其中的等量关系、设未知数、列方程，可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系。
达成目标（3）的标志是： 学生能感受数学来源于生活又服务于生活。
三、教学问题诊断分析
初二学生已经具有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严谨性仍相对薄弱，正确地理解问题情境，会借助图形、表格、式子等进行分析题意，设未知数找出相等关系，并能列出分式方程解决实际问题，对学生来说有一定的难度。
给予以上分析，确定本课的教学难点：找出相等关系列出分式方程，将实际问题数学化.
四、教学方法
在教学时，可让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知.具备了一定的学习能力，所以本节课采用小组合作方式，让学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究．
教学设计
一、复习导入
1、解分式方程的一般步骤是什么？
2、列方程应用题的步骤是什么？
3、我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？
设计意图：复习知识点以巩固、梳理已学知识、技能，促进知识条理化、系统化，进一步巩固、深化基础知识.
二、讲授新课【例3】
例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
题目分析：
这是一道有关工程施工的问题．由于建筑业在全国乃至世界都普遍，因此工程的快慢有时决定工程队的命运，这里以问题的形式出现，在激发学生学习数学的求知欲的同时却也提高了本题的难度。例题的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程.
活动1
教师展示例题,学生根据提示问题进行小组讨论：
问题：（1）通读题目，这是什么类型的实际问题？这类问题最重要的哪几个量？你能写出关系式吗？
（2）找出题目中的已知条件，尝试借助图表将已知条件表示出来。
（3）题目中未知的量是什么？怎么把它设出来？
（4）问题中的哪个等量关系可以用来列出方程？
（5）试写出解答过程。
【设计说明】
通过学生的自主探究，一是培养学生的阅读分析能力，加强学生根据已有知识，建立数学模型，去解决实际问题能力的培养，二是要求学生形成良好的学习态度，关注他们解题中能否认真审题，正确找出等量关系，解题格式是否规范等；三是通过训练，进一步提高学生解分式方程的能力．
师生行为：
师生共同整理思路，规范完整的解答过程：
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的word/media/image1_1.png。记总工程量为1，根据工程的实际进度，得:
方程两边同乘以，得：
解得：
检验：当时
，
所以，原分式方程的解是。
∴
由以上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队施工速度快。
答：乙队的施工速度快。
活动2
学生讨论：除了上面的解法，本题你还可以有其它解法吗？
（1）从线段图我们可以看出题目还有另外等量关系“甲完成的工程量+乙完成的工程量=工程总量”，同样能列出方程解答；另外，从图中我们可以看到，甲队单独施工一个月完成总工程的，剩下的为两队共同做的，也即是两队共同做的工程量为1-
，同样可以列出方程解答；
（2）工作效率比较，同等工作条件下，除了上面所用的单位时间比较谁干得多，我们也可通过固定工作谁耗时少进行比较，题目已知条件“甲单独施工一个月完成总工程的”即“甲单独完成总工程需3个月”，我们可以将乙队单独完成总工程的时间设为
个月（即乙队单独施工一个月完成总工程的
）。工程问题除了线段图分析，我们还可以通过表格分析题目中的已知条件与未知量，同样能列出方程解答。
【设计说明】
让学生通过同一道题可以选用不同的方法解答，在畅谈中体验一题多解的乐趣，活跃学生思维，提高学习的乐趣。
活动3
小结方法规律：
回顾本题的解答过程，我们知道，解决工程问题最重要的三个量是“工作效率””工作时间”“工作量”，三个量之间的关系式 “工作效率×工作时间=工作量”。当题目没有给出具体工作总量的时候，通常将工作总量当作1（隐含条件）。而列出分式方程解决实际问题后应从分式方程的特点和问题的实际意义两方面进行检验。解题时可借助线段图或表格，找出实际问题中的等量关系并列方程，考虑的角度不同，所取得的等量关系也不同。
三、课堂练习
练习1：张明3 h清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2 h清点完另一半图书。如果李强单独清点这批图书需要几小时？
分析：题目与原例题相同的是：都属于工程问题，题目都没有给出具体工作总量，将其当作1；不同的是：原例题所求的是工作效率，而本题求的是工作时间。
练习2： A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
分析：异同点：都属于工程问题，都需要求工作效率，不同的是①练习2有具体工作总量而原例题没有；②练习2所用的等量关系是“时间相等”，而原例题则是“甲单独完成的工作量+两队共同完成的工作量=工作总量”。
练习3：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍. 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
【设计说明】
通过前两道练习是例题的变式，第三道练习是中考链接，通过这三道题目的练习能了解学生对这一类问题的理解，同时也培养了学生全面分析问题、准确转化问题、构建方程模型的能力，体现了新课程以学生为主的理念。
四、总结
分式方程解决实际问题先审清题意设恰当的未知数，再根据工程问题中的关系式找出等量关系，从而列出分式方程，解决问题。
解决工程问题时紧扣“工作效率、工作时间、工作量”三个重要的量，它们之间的关系是“工作效率×工作时间=工作量”。
解题时可借助线段图或表格，找出实际问题中的等量关系并列方程，而对于同一道题我们可以选用不同的方法解答，对于同类型的不同题目我们则可以用同种方法解答。
五、布置作业
1、教科书P154 练习第2题 ，教科书P155，第4题
2、《新课程》P87，第4、5、6题
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8337cc7b760bf78a6529647d27284b73f24236c2.html
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