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正在进行安全检测...
正在进行安全检测...
发布时间:2024-04-25 08:55:10 来源:
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2006
全国数学建模竞赛易拉罐
形状和尺寸的最优设计模型全
国一等奖
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
(2006
年获全国一等奖
摘
要:
本文主要考虑当容积一定时,如何设计易拉罐的形状和尺寸,使得所
用材料最省。首先对易拉罐进行测量,对问题二、问题三、问题四建立数学模
型,并利用
LINGO
软件结合所测的数据进行计算,得出最优易拉罐模型的设计。
模型一,对正圆柱体形状的易拉罐,当容积一定时,以材料体积最小为目
标,建立材料体积的函数关系式,并通过求二元函数条件极值得知,当圆柱高
为直径两倍时,最经济,并用容积为
360ml
进行验算,算得
H
122
.
63
mm
,
R
30
.
58
mm
与市场上净含量为
355ml
的测得的数据基本接近。
模型二,对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量
一定时,考虑所用材料最省,建立优化模型,并通过
LINGO
软件仍用容积为
360
ml
进行验算,算得
R
30
.
58
mm
,
r
1
29
.
33
mm
,
h
1
8
.
94
mm
,
h
2
111
.
8
mm
,
高之和约为直径的两倍。
模型三,考虑到罐底承受的压力,根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计
的原理,设计底部支架(环形)与一定弧度的拱面,同时利用黄金分割,将直
径与高之比设为
0.618
,
建立容积量一定时材料最省的优化模型,
再将有关数据
代入计算,得到结论,现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。
关键词:
优化模型
易拉罐
非线性规划
正圆柱
正圆台
一、问题重述
销量很大的饮料容器
(
即易拉罐
的形状和尺寸几乎都是一样的。
这应该是某
种意义下的最优设计,而不是偶然。当然,对于单个的易拉罐来说,这种最优
设计可以节省的钱可能是很有限的,但是如果是生产几亿,甚至几十亿个易拉
罐的话,可以节约的钱就很可观了。
现针对以下问题,研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
问题一:取一个饮料量为
355
毫升的易拉罐,例如
355
毫升的可口可乐饮料罐,
测量验证模型所需要的数据,例如易拉罐各部分的直径、高度,厚度等,并把
数据列表加以说明;如果数据不是测量得到的,那么必须注明出处。
问题二:设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计?其结果是否可以合
理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸,例如说,半径和高之比,
等等。
问题三:设易拉罐的中心纵断面如图
1
所示,即上面部分是一个
正圆台,下面部分是一个正圆柱
。
什么是它的最优设计?其结果
是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
问题四:利用所测量的易拉罐的洞察和想象力,做出关于易拉罐
形状和尺寸的最优设计。
同时,以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验,
写一篇短文
(
不超过
1000
字,论文中必须包括这篇短文
,阐述什么
图
1
2
本文来源:
https://www.2haoxitong.net/k/doc/7ad019042c60ddccda38376baf1ffc4ffe47e2f8.html
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