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数学建模题目及答案

发布时间：2024-04-25 08:57:25 来源：文档文库

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09级数模试题
1.把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分）
解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同
（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令f(为A、B离地距离之和，唯一确定。由假设（1），g(为C、D离地距离之和，它们的值由f(,g(均为不妨设的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，
故f(g(=0必成立（）。f(00,g(00g（若g(0也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：
已知f(,g(均为的连续函数，f(00,g(00且对任意有f(0g(00，求证存在某一0，使f(0g(00。
f(0，g(0。g(作h(f(，显然，h(证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故也是的连续函数，h(0理，存在0，00f(0g(00而h(f(g(0，由连续函数的取零值定，使得h(00，即f(0g(0。又由于f(0g(00，故必有f(0g(00，证毕。2.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分）
解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A宿舍的委员数为x人，B宿舍的委员数为y人，C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。则
x+y+z=10；

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x/10=235/1000；y/10=333/1000；z/10=432/1000；
0y10，x,y,z为正整数；
解得：x=3y=3z=43.一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。（15分）
解：设在第t天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为z元。每头猪投入：5t元
产出：（8-0.1t）（80+2t）元
利润：Z=5t+（8-0.1t）（80+2t）=-0.2t^2+13t+640=-0.2（t^2-65t+4225/4）