函数的图像和性质

2001-2012年广东深圳中考数学试题分类解析汇编（12专题）

专题6：函数的图象与性质

锦元数学工作室 编辑

1、选择题

1. （2001广东深圳3分）在同一平面直角坐标系中，函数的解析式与它的图象对应没有错误的是【 】

(A) 　　　　　 (B)

(C) (D)

【答案】C。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象。

【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的图象特征，作出判断：

　　　　(A)的图象错误；(C)的图象错误；(D)的图象错误，

　　　　故选C。

2.（深圳2002年3分）反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直

x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是【 度002_www.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.com】

A、1 B、2 C、4 D、

【答案】B。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S= |k|即可求得k的值：

∵点M是反比例函数y=图象上一点，∴S△MOP= |k|=1。

又∵k＞0，则k=2。故选B。

4.（深圳2004年3分）函数y=x2－2x＋3的图象顶点坐标是【 度002www.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.com】

A、（1，-4） B、（－1，2） C、（1，2） D、（0，3）

【答案】C。

【考点】二次函数的性质。

【分析】利用配方法将一般式化为顶点式即可确定顶点的坐标：

∵y=x2－2x+3=x2－2x＋1＋2=（x－1）2＋2，

∴顶点的坐标是（1，2）。故选C。

5.（深圳2004年3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线

于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是【 度002www.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.com】

A、2 B、4 C、5 D、6

【答案】B。

【考点】二次函数综合题，二次函数的对称性，弦径定理，勾股定理。

【分析】根据题意，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．知CE＋FD=CD－EF=CD－2EH，分别求出CD，EF即可：

由抛物线过点A（2，0）、B（6，0）得：抛物线对称轴为x=4。

由抛物线过点C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D ，

得D点坐标为（7，）。

如图，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H，

则GH= 3，EG=2，EH= 22－()2=1。

∴CE＋FD=CD－EF=CD－2EH=－2=4。故选B。

6.（深圳2005年3分）函数y=（k≠0）的图象过点（2，－2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的【 度002www.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.com】

A、第一、三象限 B、第三、四象限 C、A、第一、二象限 D、第二、四象限

【答案】D。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】将（2，－2）代入y=（k≠0）得k=－4，根据反比例函数的性质，函数的图象在平面直角坐标系中的第二、四象限。故选D。

7.（深圳2006年3分）函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是【 度002www.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.com】

A 　B 　C 　 D

【答案】C。

【考点】一次函数和反比例函数的图象。

【分析】∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴＜0。

∵＜0，∴函数的图象过二、四象限．

又∵－＞0，∴函数的图象与y轴相交于正半轴。

∴一次函数的图象过一、二、四象限。故选C。

9.（深圳2007年3分）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是【 度002www.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.com】

【答案】C。

【考点】一次函数和反比例函数的图象。

【分析】若＞0，反比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、二、三象限，答案C符合条件；若＜0，反比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过二、三、四象限，答案中没有符合条件的结果。故选C。

9.（深圳2009年3分）．如图，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为【 度002_www.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.com】

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】A。

【考点】反比例函数系数的几何意义。

【分析】双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为||，根据反比例函数的中心对称特点可知△ABC的是面积2||=2×4=8。故选A。

11.（深圳2010年招生3分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可以是【 度002www.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.comwww.zk5u.com】

A .－1 B .0 C . 1 D .2

【答案】D。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】由反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，得，即。因此的值可以是2。故选D。

12.（深圳2011年3分）对抛物线=－2＋2－3而言，下列结论正确的是【 度002】

A.与轴有两个交点 B.开口向上 C.与轴交点坐标是(0，3) D.顶点坐标是(1，－2)

【答案】D。

【考点】二次函数的性质。

【分析】把=－2＋2－3变形为=－（－1）2－2，根据二次函数的性质，该抛物线，开口向上；顶点坐标是(1，－2)；－ 2＋2－3=0无实数根，故抛物线与轴无交点；当=0时y=－3，故抛物线与y轴交点坐标是(0，－3) 。故选D。

二、填空题

1.（深圳2008年3分）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝ ▲

【答案】4。

【考点】反比例函数系数的几何意义。

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=。

∵S△OAB= =2，且反比例函数在第一象限，＞0，则。

2.（深圳2011年3分）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是 ▲ .

【答案】。

【考点】三角形的内心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一次函数，锐角三角函数。

【分析】过A作AE⊥X轴于E，AC交Y轴于D，AB交X轴于F。

∵点C的坐标为（2,0），点B的坐标为（0,2），

∴∠OCB=∠OBC=45º，BC=。

又∵△ABC的内心在y轴上，∴∠OBF=∠OBC=45º。

∴∠ABC=90º，BF=BC=，CF=4，EF=EA。

又∵直线AC的解析式为，∴OD：OC=1：2。

∵A点在直线AC上，∴AE：EC=1：2，即AE：（EF+CF）=AE：（AE+4）=1：2。

解之，EF=AE=4，∴FA=。∴AB=BF+FA=。

∴在Rt △ABC中，tanA= 。

3.（2012广东深圳3分）二次函数的最小值是 ▲ ．

【答案】5。

【考点】二次函数的性质。

【分析】∵，∴当时，函数有最小值5。

4. （2012广东深圳3分）如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．

【答案】4。

【考点】反比例函数综合题。

【分析】∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），

∴Q点的坐标是（3，1），

∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。

三、解答题

1. （2001广东深圳12分）已知：如图，在直角坐标平面内，点C的坐标是（1，0）⊙C与y轴相切于原点O. 过点A（3，0）的直线a与⊙C相切于点D，且交y轴的正半轴于点B.

（1）求直线a对应的一次函数解析式；

（2）求过点O, D, A三点的抛物线对应的二次函数解析式；

（3）求x轴上的点P的坐标，使点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形.

【答案】解：（1）如图，过点D作DE⊥x轴于点E。

设D（x，y），

则CE= x－1，EA=3－x，CD=1，DE= y，

在Rt△DCE中，由勾股定理得，

。

由△DCE∽△ADE，得，即

。

联立，解得，。∴D。

设直线a对应的一次函数解析式为，

∵点A 、D在直线a上，∴，解得。

∴直线a对应的一次函数解析式为。

（2）设过点O, D, A三点的抛物线对应的二次函数解析式为，

将O, D, A三点的坐标代入得，解得。

∴过点O, D, A三点的抛物线对应的二次函数解析式为。

（3）设点P（p，0），则由勾股定理得

，

，

。

若PD=AD，则，解得或（与点A重合，舍去）。

∴P1（0，0）。

若 AD=PA，则，解得或。

∴P2（，0），P2（0，）。

若PD=PA，则，解得。

∴P4（2，0）。

综上所述，x轴上使点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形的点P的坐标为：

P1（0，0），P2（，0），P2（0，），P4（2，0）。

【考点】切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质。

【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，设D（x，y），在Rt△DCE中，应用勾股定理得，由△DCE∽△ADE得，二者联立，求得点D的坐标，从而应用待定系数法，即可求得直线a对应的一次函数解析式。

（2）由O, D, A三点的坐标，应用待定系数法，即可求得过点O, D, A三点的抛物线对应的二次函数解析式。

（3）分PD=AD，AD=PA和PD=PA三种情况讨论即可。

2.（深圳2002年10分）已知：如图，直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。

（1）求抛物线的解析式。

（2）若点P在直线BC上，且S△PAC=S△PAB，求点P的坐标。

【答案】解：（1）∵直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C，

∴令x=0，则y=0，令y=0，则x=3。∴C（0，3）、B（3，0）。

把两点坐标代入抛物线y=－x2＋bx＋c得，，

解得，。∴抛物线的解析式为：y=－x2＋2x＋3。

（2）由－x2＋2x＋3=0可得点A的坐标为（－1，0）。

∴S△ABC=。

设P点坐标为（x，－x＋3），分三种情况讨论：

当点P 在BC延长线上，S△PAC= S△PAB－S△ABC=S△PAB，

∴S△ABC=S△PAB， 即，解得x=－3。

此时，点P的坐标为（－3，6）。

②当点P 在线段BC上，S△PAC=S△ABC－S△PAB=S△PAB，

∴S△ABC=S△PAB， 即，解得x=1。

此时，点P的坐标为（1，2）。

③当点P 在CB延长线上，S△PAC= S△PAB＋S△ABC=S△PAB，

∴S△ABC=－S△PAB，这是不可能的。此时，点P不存在。

综上所述，所求点P的坐标为（－3，6）或（1，2）。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）根据直线y=－x＋3可分别令x=0，y=0求出C，B两点的坐标；把B，C两点的坐标分别代入抛物线y=－x2＋bx＋c可求出b，c的值，从而求出函数的解析式．

（2）因为P在直线BC上，所以可设P点坐标为（x，－x＋3），再利用三角形的面积公式及△ABC、△PAC、△PAB之间的关系分点P 在BC延长线上，当点P 在线段BC上，当点P 在CB延长线上三种情况求出x的值，从而求出P点坐标。

3.（深圳2003年18分）如图，已知A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，

（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）连结BD，求tan∠BDC的值；

（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG交

DC于G，求sin∠CGF的值。

【答案】解：（1）∵A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，

∴由圆的性质和弦径定理可得D（0，－4），B（2，0），C（8，0）。

设过D、B、C三点的抛物线的解析式为。将D、B、C的坐标代入，得

，解得，，

∴抛物线的解析式为y=。

（2）作弧BC的中点H，连接AH、AB，

则由弦径定理和圆周角定理，∠BDC=∠BAH=∠BAC，

∴tan∠BDC=tan∠BAH=。

（3）由（1）y= 得

点P的坐标为（5，）。

由P、C坐标可求得直线PC的解析式为y=。

设M为直线PC与y轴的交点，则M的坐标为（0，6）。

∵OM=6，OC=8，∴由勾股定理，得MC=10。

又MD=OM＋OD=10，∴MD=MC=10。∴∠MCD=∠MDC。

∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°。∴∠MCO=∠BDC=∠PFD。

∴∠CGF=∠GDF+∠PFD=∠GDF+∠BDC=∠HDF=45°。

∵DA=AH=半径，∴sin∠CGF=sin45°=。

【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】（1）由A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）取弧BC的中点H，连接AH、AB，根据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值。（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）

（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠CGF=∠CDF+∠BDC=∠HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值。

4.（深圳2006年8分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.

（1）(4分)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

（2）(4分)若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100 件．若每工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?

5.（深圳2006年10分）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.

(1)(3分)求线段OC的长.

(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．

(3)(4分)在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】解：（１）由与轴交于A、B两点得，， 。

∵点A在点B的左侧，∴OA＝２，OB＝６。 　　　

∵△OCA∽△OBC，∴OC2＝OA·OB＝２×６。∴OC＝２（－２舍去）。

∴线段OC的长为２。

（２）∵△OCA∽△OBC，∴。

设AC＝ｋ，则BC＝ｋ。

由AC2＋BC2＝AB2得ｋ2＋（ｋ）2＝（６－２）2，解得ｋ＝２（－２舍去）。

∴AC＝２，BC＝２＝OC 。 　

过点C作CD⊥AB于点D，∴OD＝OB＝３。

∴ＣＤ＝。

∴C的坐标为（３，）。 　

将C点的坐标代入抛物线的解析式得

，∴＝－。

∴抛物线的函数关系式为：

（３）①当P1与Ｏ重合时，△BCP1为等腰三角形，

∴P1的坐标为（０，０）。

②当P2B＝BC时(P2在B点的左侧)，△BVP2为等腰三角形，

∴P2的坐标为（６－２，０）。

③当P5为AB的中点时，P5B＝P5C，△BCP5为等腰三角形，

∴P5的坐标为（４，０），

④当BP4＝BC时(P4在B点的右侧)，△BCP4为等腰三角形，

∴P4的坐标为（６＋２，０）。

综上所述，在轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点Ｐ的坐标为：

（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）。

【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定。

【分析】(1) 由与轴交于A、B两点求出两点的坐标，由△OCA∽△OBC，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出线段OC的长。

（2）由△OCA∽△OBC求出点C的坐标，即可用等定系数法求出该抛物线的函数关系式。

（3）分P与Ｏ重合、PB＝BC、P为AB的中点、BP＝BC四种情况讨论即可。

6.（深圳2007年9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为，点D在轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E．

（1）求∠BEC的度数．

（2）求点E的坐标．

（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：①；

②；

③等运算都是分母有理化）

【答案】解：(1）∵四边形AOCB是正方形，OD=OB，∴∠OBD=∠ODB=22.50。∴∠CBE=22.50。

∴∠BEC=900－∠CBE=900－22.50=67.50。

（2）∵正方形AOCB的边长为1，∴OD=OB=。

∴点B的坐标为（－1，1），点D的坐标为（，0）。

设直线BD的解析式为，则，解得。

∴直线BD的解析式为

令，，∴点E的坐标为，）。

（3）设过B、O、D三点的抛物线的解析式为，

∵B（－1，1），O（0，0），D（，0），

∴，解得，。

∴所求的抛物线的解析式为。

【考点】正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次根式化简。

【分析】(1）由正方形、等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，可求得∠BEC的度数。

（2）求出点B和D的坐标，用待定系数法求出直线BD的解析式，令即可求出点E的坐标。

（3）由B、O、D三点的坐标，用待定系数法即可求出过B，O，D三点的抛物线的解析式。

7.（深圳2007年8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于A，B两点．

（1）求线段AB的长．

（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？

（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交轴、轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立．

（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，设，，．，试说明：．

【答案】解：（1）∵，解得，。∴A（－4，－2），B（6，3）。

分别过A、B两点作AE轴，BF轴，垂足分别为E、F。

∴AB=OA+OB 。

（2）设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为，

则，

∵，∴当时，函数有最大值。

∴当扇形的半径取时，扇形的面积最大，最大面积是。

（3）过点A作AE⊥轴，垂足为点E，则OA=。

∵CD垂直平分AB，点M为垂足，

∴OM=AB－OA。

∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM， ∴△AEO∽△CMO。

∴，∴ ∴CO。

同理可得 OD 。

∴，。

∴。

（4）等式成立。理由如下：

∵∠ACB=900，CD⊥AB，∴，。

∴。∴。 ∴。 ∴。

∴。∴。∴。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，勾股定理，扇形的计算，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，代数式的变换。

【分析】（1）求出A（－4，－2），B（6，3），由勾股定理即可求出线段AB的长。

（2）求出扇形的面积关于半径的函数表达式，由二次函数的最值即可求解。

（3）由勾股定理和相似三角形的判定和性质，即可求出OM，OC，OD的长，代入等式验证即可。

（4）由三角形面积公式和勾股定理得到代数式，进行代数式的变换即能证明。

8.（深圳2010年学业8分）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利

50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y

（件）与降价x元之间的函数关系为y＝20＋4x（x＞0）

（1）求M型服装的进价；（3分）

（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．（5分）

【答案】解：（1）设进价为x，

∵销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%，

∴75×0.8=（1+0.5）x，解得，x=40。

答：M型服装的进价为40元。

（2）∵销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售，

∴M型服装开展促销活动的实际销价为75·0.8－x=60－x，销售利润为60－x－40=20－x，

而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20＋4x，

∴促销期间每天销售M型服装所获得的利润为：

W=（20－x）（20＋4x）=-4x2＋60x＋400=。

∴当x= =7.5（元）时，利润W最大值为625元。

【考点】一元一次方程、二次函数的应用。

【分析】（1）销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．可得：标价打8折等于（1+0.5）乘进价。

（2）促销后，每件在8折的基础上再降价x元销售，则实际销价为60－x，利润W=（60－x）（20+4x）。

由二次函数最值可解。

9.（深圳2010年学业9分）如图，抛物线经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD

在轴上，其中A（－2，0），B（－1, －3）．

（1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）点M为轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）

（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）

【答案】解：（1）∵点A、B在抛物线上，∴点A、B的坐标满足抛物线方程。

∴， 解之得：。

∴抛物线的解析式为所求。

（2）如图，连接BD，交轴于点M，则点M就是所求作的点。

设BD的解析式为，则有，。

∴BD的解析式为。

令则，∴M（0，－2）。

(3)如图，连接AM， BC交y轴于点N，

∵A（－2，0），D（2，0），M（0，－2），∴OM=OA=OD=2。

∴∠AMB=900。

∵B（－1, －3），M（0，－2），∴BN=MN=1

∴，。

设，

依题意有：，即：。

解之得：，。

∴符合条件的P点有三个：。

【考点】二次函数综合题，等腰梯形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，三角形三边关系，直角的判定，勾股定理，解一元二次方程。

【分析】（1）由点A、B在抛物线上，点A、B的坐标满足抛物线方程的关系，将点A、B的坐标代入抛物线方程即可求出抛物线的解析式。

（2）∵点A，D关于对称轴轴对称，连接BD交对称轴轴于M点，由三角形三边关系知M点即为所求，求出直线BD的解析式，即可求得M点的坐标。

（3）求出S△ABM，设，即可由已知S△PAD＝4S△ABM列出关于的方程即可求解。

10.（深圳2010年招生9分）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图① 所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z 与之间也大致满足如图② 所示的一次函数关系.

( 1 ) ( 3 分）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

( 2 ) ( 3 分）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z 与政府补贴款额之的函数关系式，

( 3 ) ( 3 分）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益W的最大值．

【答案】解：（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为800×200=160000（元）。

（2）依题意（图），设，，则有

，，解得，。

∴，。

（3）∵

∴要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为100元？其总收益W的最大值为162000元。

【考点】一次、二次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值。

【分析】（1）由图，直接求出。

（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z 与政府补贴款额之的函数关系式。

（3）求出该商场销售彩电的总收益W的函数关系式，用二次函数最值原理求解。

11.（深圳2011年9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台，运往A、B两馆运费如表1：

（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费（元）与（台）的函数关系式；

（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；

（3）当x为多少时，总运费最少，最少为多少元？

【答案】解：（1）填写表2如下所示

依题意，得： y＝800x＋700(18－x)＋500(17－x)＋600(x－3)

即：y＝200x＋19300（3≤x≤17）

（2）∵要使总运费不高于20200元， ∴200x＋19300<20200

解得：

∵3≤x≤17，∴且设备台数x只能取正整数。∴x只能取3或4。

∴该公司的调配方案共有2种，具体如下表：

（3）由（1）和（2）可知，总运费y为：

y＝200x＋19300（x＝3或x＝4）

由一次函数的性质，可知：

当x＝3时，总运费最小，最小值为：＝200×3＋19300＝19900（元）。

答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。

【考点】一次函数，一元一次不等式，函数的最小值。

【分析】（1）已知条件直接填写表2，再根据等量关系列出函数关系式：

总运费=甲地运A馆运费+乙地运A馆运费+甲地运B馆运费+乙地运B馆运费

y = 800x + 700(18-x) + 500(17-x) + 600(3-x)

考虑到甲地共生产了17台和乙地运B馆3-x台，有3≤x≤17。

（2）根据所列一元一次不等式求解，并结合实际得出x的取值进行分析，并根据一次函数的增减性求解。

12.（深圳2011年9分）如图1，抛物线的顶点为（1，4），交轴于A、B，交轴于D，其中B点的坐标为（3，0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

【【答案】解：（1）设所求抛物线的解析式为：，

依题意，将点B（3，0）代入，得：， 解得：＝－1

∴所求抛物线的解析式为：。

（2）如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI，

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线，得

， ∴点E坐标为（2，3）。

又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D，

∴当y＝0时，，∴x＝－1或x＝3

当x＝0时，y＝－1＋4＝3,

∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）

又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，

∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE

设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

， 解得：

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1

∴当x＝0时，y＝1 。 ∴点F坐标为（0，1）。∴DF=2。

又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1）

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，

∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由图形的对称性和HF＝HI，GD＝GE可知，

DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小。

。

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：，

分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：

，解得：

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1

∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；

∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI=

∴四边形DFHG的周长最小为。

（3）设点M的坐标为（，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD ∴。

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋，BD＝，AB＝4，

∴

∵，

由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使即可。

即： ∴

解得：或（不合题意，舍去）。∴点M的坐标为（，0）。

又∵点T在抛物线图像上， ∴当x＝时，y＝。

∴点T的坐标为（，）。

【考点】待定系数法求二次函数，抛物线的对称性，一次函数，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）用待定系数法将点B（3，0）代入即可求二次函数表达式。

（2）应用抛物线的对称性和两点之间线段最短的性质可求。

（3）由题意可知，∠NMD＝∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，即：。因此由（1）、（2）的结论和△AMN∽△ABD即可求得。

13. （2012广东深圳9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．

(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;

(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？

请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。

又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。

（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

由题意得： ，解得：。

∴直线BC的解析式为y=－2x+2．

∴点E的坐标为（0，2）。

∴。

∴AE=CE。

（3）相似。理由如下：

设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则，解得：。

∴直线AD的解析式为y=x+4。

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。

∴点F的坐标为（）。

则。

又∵AB=5，，

∴。∴。

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。

∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。

【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。

（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。

（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC 得出；由题意得∠ABF=∠CBA， 即可作出判断。

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