大学物理课后习题及答案(2)

习 题 二

2-1 质量为m的子弹以速率水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv

(1) 由牛顿第二定律

即

所以

对等式两边积分

得

因此

(2) 由牛顿第二定律

即

所以

对上式两边积分

得到

即

2-2 质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为

[证明] 任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得

即

整理得

对上式两边积分

得

即

2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时

即

有牛顿第二定律

整理得

对上式两边积分

得

整理得

2-4 一根线密度为的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面的瞬时作用力。

[解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s段对桌面的压力，另一部分是正在下落的段对桌面的冲力，桌面对段的作用力为。显然

时刻，下落桌面部分长s。设再经过，有落在桌面上。取下落的段链条为研究对象，它在时间之内速度由变为零，根据动量定理

(1)

(2)

(3)

由(2)、(3)式得

故链条对桌面的作用力为

2-5 一半径为R的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为m的小球正以角速度沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的高度。

[分析] 小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。

[解] 设小球的运动水平面距碗底的高度为h，小球受力如图所示，则

由以上四式得

2-6 一飞车运动员在一个呈锥形内表面的演出舱内进行表演。若人与车的质量为m，锥面的半顶角为。飞车运动员恰好在一水平面内作匀速率圆周运动，其速率为。忽略摩擦阻力，试作飞车运动员及车的受力图，并将圆周的半径用、g和表示之。

[解] 飞车运动员的及车的受力如图所示，设其距锥面顶点的高度为h，则

联立两式得

2-7 在光滑的竖直圆环上，套有两个质量均为m的小球A和B，并用轻而不易拉伸的绳子把两球联结起来。两球由图示位置开始释放，试求此时绳上的张力。

[解] 小球A和B受力如图，因绳子不可伸长，开始释放时球的速度为零，小球A和B的切向加速度相等，法向加速度为零，则

对A球

对B球

由上面两式得

2-8 一人造地球卫星质量m=1327kg，在离地面m的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f的大小；(2)卫星的速率v；(3)卫星的转动周期T。

[解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力

由上面两式得

(2) 由牛顿第二定律

(3) 卫星的运转周期

2-9 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。

[解] 设同步卫距地面高度为h，距地心为R+h，则

所以

代入第一式中

解得

2-10 自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每颗子弹的质量为m＝7.90g，出口速率为735，求射击时(以分钟计)抢托对肩的平均压力。

[解] 取时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均力为，根据动量定理得

所以

故枪托对肩部的平均压力为

2-11 水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。设水柱直径为D=30mm，水速v=56，水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。求水柱对煤层的平均冲力。

[解] 取长为dx的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为，根据动量定理

所以

故水柱对煤层的平均冲力

2-12 F＝30+4t的力作用在质量为10kg的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为10

，方向与F相同，在t=6.86s时，此物体的速度是多少?

[解] 根据冲量定义

(1)开始两秒钟此力的冲量

(2) 当时

解得

(3) 当时，，根据动量定理

word/media/image97_1.png因此

2-13 质量为m的质点，以不变速率v沿图示三角形ABC的水平光滑轨道运动。求质点越过角A时，轨道作用于质点冲量的大小。

[解] 如图所示，质点越过A角时动量的改变为

由图知的大小

根据动量定理

2-14 质量为m的质点在xOy平面内运动，其运动方程，试求：(1)质点的动量；(2)从t＝0到这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点的动量是否守恒?为什么?

[解] 质点的速度

(1)

(1) 质点的动量

(2) 由(1)式得时，质点的速度

时，质点的速度为

根据动量定理

解法二：

(3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t变化。

2-15 将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h处将石子以每秒n个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为m。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后t秒时，台秤的读数。

[解] t秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力，另一部分是正下落的石子对秤的冲力，显然

取时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为，根据动量定理

所以

故时间下落的石子对称的冲力

因此秤的读数为

2-16 以速度前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮车的仰角为，炮弹和炮车的质量分别为m和M，炮弹相对炮车的出口速率为v，如图所示。求炮车的反冲速率是多大?

[解] 以大地为参照系，取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象，系统水平方向的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速度的水平分量为，根据动量守恒定律

所以

此即为炮车的反冲速率。

2-17 一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g，在A、B两位置处的速率都是20，与x轴成角，与y轴垂直，求质点由 A点运动到B点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。

[解] 由题意知，质点由A点到B点动量的改变为

根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量

所以

冲量与x轴之间的夹角

2-18 若直升飞机上升的螺旋浆由两个对称的叶片组成，每一叶片的质量m＝136kg，长l=3.66m。当它的转速n=320时，求两个叶片根部的张力(设叶片是均匀薄片)。

[解一] 设叶片的根部为原点O ，作径向Or轴，在叶片上距O点为r处取一线元，则，其两边所受的张力如图所示。根据圆周运动沿径向的动力学方程，有

即

对上式积分，并考虑到叶片的外端r趋近于l时，张力，则

因此距O点为r处叶片中的张力为

式中负号表明T指向O点。取r=0，代入题中所给数据，得叶片根部张力

[解二] 任意时刻t叶片的动量

经过dt时间，叶片动量的改变

叶片根部所受的作用力

2-19 如图所示，砂子从h＝0.8m处下落到以3的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。

[解] 如图所示，设时间内落下的砂子的质量为，则的动量改变

显然有

由图可知

根据动量定理

所以

2-20 矿砂从传输带A落到另一传输带B，其速度大小为＝4，＝2方向如图所示。设传输带的运送量＝2000，求矿砂作用在传输带B上的力的大小和方向。

[解] 取时间内落下的矿砂为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动量的改变为

根据动量定理

所以

故矿砂作用在传输带B上的力

与竖直方向的夹角

2-21 质量为M的平板车，在水平地面上无摩擦地运动。若有N个人，质量均为m，站在车上。开始时车以速度向右运动，后来人相对于车以速度u向左快跑。试证明：(1)N个人一同跳离车以后，车速为

(2)车上N个人均以相对于车的速度u向左相继跳离，N个人均跳离后，车速为

[证明] (1) 取车和人组成的系统为研究对象，以地面为参照系，系统的水平方向的动量守恒。人相对于地面的速度为，则

所以

(2) 设第个人跳离车后，车的速度为，第x个人跳离车后，车的速度为，根据动量守恒定律得

所以

此即车速的递推关系式，取得

……………………

将上面所有的式子相加得

此即为第N个人跳离车后的速度，即

2-22 求半圆形的均匀薄板的质心。

[解] 设圆半径为R，质量为m，建立如图所示的坐标

系，设质心坐标为，取图示面积元，

则，由对称性知：

所以质心的坐标为

2-23 水分子的结构如图所示。两个氢原子与氧原子的中心距离都是0.958Å，它们与氧原子中心的连线的夹角为，求水分子的质心。

[解] 建立如图所示坐标系，设质心坐标为，则

Å

所以水分子的质心坐标为(0，0.0648)

2-24 三个质点组成的系统，其中=4kg，坐标为(1，3)； =8kg，坐标为(4，1)； =4kg，坐标为(-2，2)(SI)。设它们分别受力=14N，沿x方向； =16N，沿y方向；＝6N，沿负x方向。质点间无相互作用力。求：(1)各质点的加速度；(2)开始时质心的坐标；(3)质心的加速度。

[解] (1) 各质点的加速度

(2) 设开始时质心的坐标为，则

(3)，和所组成的系统所受的合力

所以质心的加速度是

2-25 两个质量都是m的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。

[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同

(1)每个星球所受的合力

(2) 设运动周期为T

联立上述三式得

所以，每个星球的运行周期

2-26 如图所示，浮吊的质量M＝20t，从岸上吊起m=2t的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角由转到，设杆长l=8m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。

[解法一] 取吊车和重物组成的系统为研究对象，系统所受的合外力为零，因此在由转到时，质心的位置不变。取质心为坐标原点，如图所示。设在在由转到时吊车在水平方向上移动的距离为x，重物在水平方向上移动的距离为y，则

=时

Ma-mb=0

a+b=lsin

=时

M(a-x)-m(b-y)=0

(a-x)+ (b-y)=lsin

联立上述四式得

[解法二] 以岸边为参考系，选如图坐标系，因水的阻力不计，因此浮吊在x方向动量守恒。该M以V向岸边靠拢，m相对M以u向左运动，相对岸边的速度为u-V。

吊杆转动角度前后，在水平方向动量守恒，

即

依题意，m在水平方向相对浮吊移动的距离为

经历时间

在t时间内，M在x方向移动的距离为

2-27 某弹道火箭初始总质量t，内装m＝9.0t的燃料，由静止开始发射。发射时喷气速率，喷气流量为q＝125，二者都是常量。不计重力及空气阻力，求火箭受到的反推力和它在燃料烧尽后的速度。

[解] 取dt时间内喷出的气体为研究对象，根据动量定理

所以

火箭受到的反推力 (1)

设燃料燃烧尽后火箭的速度为v，根据动量定理

(2)

燃料燃烧时间 (3)

联立(1)、(2)两式得 (4)

将上式积分得 (5)

联立(3)、(5)两式得

2-28 初始质量为的火箭，在地面附近空间以相对于火箭的速率u垂直向下喷射高温气体，每秒钟消耗的燃料量为常量C。设初速为零，试求火箭上升速度与时间的函数关系。

[解] 经过时间t后，火箭的速度为v，由第27题知，火箭受的反推力

根据动量定理

联立两式得

对上式积分得

因此

此式即火箭的速度与时间t的函数关系式。

2-29 依靠火箭将卫星进入轨道。发射前火箭和卫星的总质量为t。其中燃料质量m=9.0t。若希望在燃料烧尽后火箭能达到第一宇宙速度v=7.9，不计空气阻力和重力，则燃料喷气相对于火箭的速率u应为多大?

[解] 由第27题知，火箭最终速率

所以

2-30 有一个二级火箭，每一级的喷气速率相对于火箭体都是u。发射前第一级火箭质量为，包括内装燃料质量，第二级火箭质量为，包括内装燃料；火箭由静止开始发射，当第一级火箭燃料用完时，其外壳即脱离开火箭体，设不计空气阻力和重力，求证当两级燃料全部燃烧完后，火箭达到的速度大小为

[证明] 由第27题知，第一级火箭燃料烧尽时火箭的速率

(1)

第二级火箭燃料燃尽时，火箭的速度为，火箭受的反推力

(q为喷气量) (2)

根据动量定理 (3)

联立(2)、(3)式

将上式两边积分得

所以

(4)

联立(1)、(4)式得

这就是火箭的最终速度。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ef687f4d5ebfc77da26925c52cc58bd630869340.html