初中数学竞赛辅导资料9
条件等式的证明
甲内容提要
1. 恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.
例如： ①a+b=b+a， ②(a+b)2=a2+2ab+b2 ， ③ x－=
(x≠0)，
④ ()2=a (在实数范围内a≥0)， ⑤
=a(在实数范围内n为正奇数).
都是恒等式.
只含常数的等式是恒等式的特例. 如：3－2=1， .
2. 条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式. 方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).
3. 证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.
4. 证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上. 一般有以下几种：
1 用已知的条件直接代入(即等量代换).
2 变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形).
3 引入参数后代入(包括换元).
5. 分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变.
乙例题
例1. 已知：,
,
且x+y+z≠0.
求证：.
分析：①设法化为同分母， ②轮换式可先代入一式，其余的可用同型式
③用已知直接代入.
证明 ：∵.
根据 轮换式的性质，得
∴=
.
例2. 已知：.
求证： (n是整数).
分析：先把已知变形，找出a, b, c之间的关系.
证明：由已知，去分母，得
bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.
(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0 .
(a+b)(b+c)(c+a)=0.
∴a=－b， 或b=－c， 或c=－a.
∵n 是整数， ∴2n+1是奇数.
当a=－b时 ，左边= ；
右边==
.
即a=－b时，等式成立.
同理可证：当b=－c和c=－a时，等式也成立 .
∴(n为整数 ).
例3. 已知：ax3=by3=cz3, .
求证：
.
证明：设ax3=by3=cz3= k . ( 引入参数)
那么ax2=, by2=
, cz2=
. 代入左边，
得 ： 左边=；
而且 a=, b=
, c=
. 代入右边，
得： 右边= (
)
=
.
∴.
例4. 已知： abc ≠0，方程(ac－bc)x2+(bc－ab)x+(ab－ac)=0有两个相等实根.
求证：
分析：要等式成立，必须且只须ac－bc=ab－ac.
证明：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0.
即 (bc－ab)2－4(ac－bc) (ab－ac)=0.
(bc－ab+ac－ac)2+4(bc－ac)(ab－ac)=0， (添项ac－ac)
［(bc－ac)－(ab－ac)］2+4(bc－ac)(ab－ac)=0.
∴［(bc－ac)+(ab－ac)］2=0 .
∴bc－ac+ab－ac =0.
∴ ac－bc=ab－ac.
∵abc≠0，两边都除以abc,
得， .
例5. 已知：a+， a≠b≠c.
求证：a2b2c2=1.
证明：由已知a－b==
,
∵ a ≠b，即a－b≠0，
∴bc=.
根据轮换式性质，得同型式： ca=, ab=
.
∴ ab×bc×ca=×
×
.
∴a2b2c2=1.
丙练习
1. 已知： abc=1. 求证：
2. 已知： x=, y=
, z=
.
求证： (1+x)(1+y)(1+z)=(1－x)(1－y)(1－z).
3. 已知：(ay－bx)2+(bz－cy)2+(cx－az)2=0 . 求证：.
4. 已知：. 求证： (a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).
5. 已知：.
求证：a+b+c=0 .
6. 已知：， a+b+c ≠0.
求证：.
7. 已知： 1949x2=1988y2 且， x>0, y>0.
求证：.
8. 已知：x=， 且a<0, b<0. 求证：
.
9. 已知：x= (a>0,0
.
10. 求证： +
=4
11. 已知：，
，
.
求证：.
12. 已知：a+b+c=0, a2+b2+c2=0, a3+b3+c3=0.
求证： a4+b4+c4=0.
参考答案
1. 化为同分母ab+a+1,并设为k, 则bc+b+1=, ca+c+1=ck.
6. 由已知得，，则k=2
8. 由已知得，1+ x2=,注意a+b<0,ab>0 9.把左边分母有理化
10.左边被开方数配方(a+ 可得a=2,b=1
11用反比，合比. 12. 0.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d02a5b323968011ca300911e.html
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