公开课教案

教学目标

教材分析

重点

1矩形定义及其性质的发现过程

难点

矩形的性质在解决问题中的应用

教学方法

讨论法

教具

PPT 白板多媒体课件、平行四边形模型、三角板

课时

1课时

设计说明

教

学

过

程

简

记

【课堂引入】

教师：我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质．大家还记得平行四边形都有哪些特殊的性质吗？

学生：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分．

教师：同学们掌握得非常熟练，这些都是平行四边形相对于普通四边形而言所具有的特殊的性质，同样对于平行四边形来说还有一些更特殊的平行四边形，例如我们之前学习的菱形，今天我们就来研究另一种特殊的平行四边形——矩形．

(教师板书课题：第1课时　矩形的性质)

【探究1】 矩形的定义

教师：同学们知道矩形特殊在什么地方吗？我们来看一下矩形的定义：(课件展示变化的过程)

图1－2－10

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

【探究2】 矩形的性质定理

教师：同学们还有什么发现？

学生：矩形是特殊的平行四边形．

教师：所以矩形具有平行四边形的所有性质，即矩形的一般性质：具备平行四边形所有的性质．(课件展示)

请同学们画出一个矩形，结合图形探究一下，矩形除了具有平行四边形的性质外还有哪些特殊的性质呢？

学生动手画图，结合图形思考并给出结论．

教师结合学生给出的结论引导学生分别从边、角、对角线三个方面来探究．

学生：边：矩形的对边平行且相等．

角：矩形的对角相等．

对角线：矩形的对角线互相平分．

教师：这些都是平行四边形就具有的性质，我们说矩形是特殊的平行四边形，那么它特殊在什么地方？(展示矩形图形)

学生猜想：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．

教师：同学们给出了两个特殊的性质，对不对呢？我们一起来验证一下：(课件展示)

矩形的四个角都是直角．

已知：如图1－2－12，四边形ABCD是矩形，∠C＝90°.

求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.

图1－2－12

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C＝90°，∠B＋∠C＝180°，

∴∠B＝180－∠C＝90°.

∴∠D＝∠B＝90°，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.

注意：证明的过程由学生口答后教师课件展示．

教师：我们通过证明发现矩形的角都很特殊，都是直角，那么它的对角线也像大家猜想的那样——相等吗？

学生：是，可以通过全等证明．

教师：看来有的同学探究得比较深入，下面我们来看一看结果到底对不对．(课件展示)

矩形的对角线相等．

已知：如图1－2－13，四边形ABCD是矩形．

求证：AC＝BD证明：在矩形ABCD中，

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，

AB＝DC，BC＝CB，

∴△ABC≌△DCB(SAS)，

∴AC＝BD.

师生共同分析并由课件展示证明过程．

教师：我们证明了这两个性质，那么我们就可以在解决问题的过程中使用了，如果使用这两个定理的话，同学们会用数学符号表示吗？

学生口答，同时教师板书．

(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.

(2)∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD.

【探究3】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

教师：下面请同学们结合矩形的性质来填空．(课件展示)

图1－2－14

　　练一练：如图1－2－14，在矩形ABCD中：

①AB∥__CD__，AB＝__CD__，AD∥__BC__，AD＝__BC__；

②∠BAD＝∠__ADC__＝∠__BCD__＝∠__ABC__＝90°；

③AC＝__BD__＝2__OA__＝2__OB__＝2__OC__＝2__OD__.

学生口答填空.

教师：请同学们看图1－2－15并思考：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是__________，它与斜边的关系是OB＝__________AC.

图1－2－15

学生：斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB＝AC. 教师：我们用语言文字叙述一下就是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

教师：这个结论是不是对于任意直角三角形都正确呢？

学生：是，因为任意一个直角三角形都可以看作是矩形的一半.

教师：同学们说得非常好，这就是我们解决问题的思路，将直角三角形转化到矩形中进行证明.

教师：通过上面的练习大家想一下：OA，OB，OC，OD之间有什么关系？

学生：它们都相等.

教师：那么图中有没有特殊的三角形呢？

学生：有等腰三角形，它们分别为△OAB，△OBC，△OCD，△OAD.

教师：通过探究我们发现，矩形中的一些特殊的结论是比较多的，不知道同学们能不能记住并理解.

学生：能.

教师：只有真正地理解并掌握了，我们才能在具体问题中灵活运用，下面我们来试一下.

　　如图1－2－16，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中相等的线段有哪些？若∠AOD＝120°，AB＝4 cm，求矩形对角线的长.

图1－2－16

学生自主解答并书写解答过程.

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，且OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，(矩形的对角线相等且互相平分)

∴OA＝OD.

故相等的线段有OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，AD＝BC，AB＝CD.

∵∠AOD＝120°，

∴∠OAD＝∠ODA＝＝30°.

又∵∠BAD＝90°(矩形的四个角都是直角)，

∴BD＝2AB＝2×4＝8(cm).

故这个矩形的对角线的长为8 cm.

学生理解并记忆这个题目的解答过程.

教师：同学们来想一想，还有没有其他的方法来求矩形对角线的长呢？

教师：这道题还可以这样想：(展示多媒体)

∠AOD＝120°→∠AOB＝60°→OA＝OB＝AB→AC＝2OA＝2×4＝8(cm).

请同学们自己完成这个题目的解答过程.

想一想：

教师：大家根据矩形的性质思考一下：矩形是中心对称图形吗？矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条？试一试.

学生：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形．矩形的对称轴有两条，分别是过对边中点的直线.

注意：学生回答的同时要求学生动手画出相应的对称轴

【应用举例】

例1　[桂林中考] 如图1－2－17，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是________

例2　如图1－2－18，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，BO是斜边AC上的中线.

(1)若BO＝3 cm，则AC＝______ cm；

(2)若BO＝6.5 cm，AB＝5 cm，则BC＝______ cm.

通过对平行四边形性质的复习，巩固所学的知识，同时，利用平行四边形是特殊的四边形引导学生思考：还有没有特殊的平行四边形？进而引入新课．学生对矩形的概念有基本的了解，比较容易想到和接受

从变化的图形中让学生归纳出矩形的定义．问题的提出没有任何的约束与限制，给每一个学生都留下了一个广阔的探究空间，学生在体会与回味中进行独立思考

通过证明验证猜想的结论，让学生更深刻的理解并掌握相关的性质，同时感受数学的严谨性与规范性，培养学生良好的数学思考能力，学生感受矩形与平行四边形的关系，最后归纳验证矩形的性质，培养了学生观察、猜想、归纳、验证的数学思维

板书设计

【板书设计】

　　　　第1课时　矩形的性质

1. 投影展示引入　　　例1(多媒体展示)

矩形的定义：

2. 矩形的性质：

角：　　　　　 练习

边：

对角线：