初中数学竞赛辅导资料
式的整除
甲内容提要
1. 定义:如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式,并且余式是零,则称这个整式被另一个整式整除。
2. 根据被除式=除式×商式+余式,设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式,
那么 式的整除的意义可以表示为:
若f(x)=p(x)×q(x), 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除
例如∵x2-3x-4=(x-4)(x +1),
∴x2-3x-4能被(x-4)和(x +1)整除。
显然当 x=4或x=-1时x2-3x-4=0,
3. 一般地,若整式f(x)含有x –a的因式,则f(a)=0
反过来也成立,若f(a)=0,则x-a能整除f(x)。
4. 在二次三项式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab
在恒等式中,左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。
乙例题
例1己知 x2-5x+m能被x-2整除,求m 的值。 x-3
解法一:列竖式做除法 (如右) x-2 x2-5x+m
由 余式m-6=0 得m=6 x2-2x
解法二:∵ x2-5x+m 含有x-2 的因式 -3x+m
∴ 以x=2代入 x2-5x+m 得 -3x+6
22-5×2 +m=0 得m=6 m-6
解法三:设x2-5x+m 除以x-2 的商是x+a (a为待定系数)
那么 x2-5x+m=(x+a)(x-2)= x2+(a-2)x-2a
根据左右两边同类项的系数相等,得
例2 己知:x4-5x3+11x2+mx+n能被x2-2x+1整除
求:m、n 的值及商式
解:∵被除式=除式×商式 (整除时余式为0)
∴商式可设为x2+ax+b
得x4-5x3+11x2+mx+n=(x2-2x+1)(x2+ax+b)
=x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b
根据恒等式中,左右两边同类项的系数相等,得
∴m=-11, n=4, 商式是x2-3x+4
例3 m取什么值时,x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除?
解:当 x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时,它含有x+y+z 因式
令x+y+z=0,得x=-(y+z),代入原式其值必为0
即[-(y+z)]3+y3+z3-myz(y+z)=0
把左边因式分解,得 -yz(y+z)(m+3)=0,
∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立
∴当x,y(或y,z或x,z)互为相反数时,m可取任何值 ,
当m=-3时,x,y,z不论取什么值,原式都能被x+y+z整除。
例4 分解因式x3-x+6
分析:为获得一次因式,可用x=±1,±2,±3,±6(常数项6的约数)代入原式求值,只有x=-2时值为0,可知有因式x+2,(以下可仿例1)
解:x3-x+6=(x+2)(x2-2x+3)
丙练习18
1. 若x3+2x2+mx+10=x3+nx2-4x+10, 则m=___, n=___
2. x3-4x2+3x+32除以x+2的余式是___,
x4-x2+1除以x2-x-2的余式是___
3. 己知x3+mx+4能被x+1整除,求m
4. 己知x4+ax3+bx-16含有两个因式x-1和x –2,求a和b的值
5. 己知13x3+mx2+11x+n能被13x2-6x+5整除,求m、n及商式
6. 己知ab≠0,m取什么值时,a3-6a2b+mab2-8b3有因式a-2b.
7. 分解因式:①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3
8.选择题
① x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是( )
(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)
(c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)
②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数),对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是( )
(A) p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.
练习18
1. –4,2 2. 2;4x+5 3. 3
4.
6. 12 7.①(x-1)(x-2)(x+3), ②(x-2)2(x+1) , ③(x+3)(x2-3x-1)
8. ① (A) ② (D)
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