人教版八年级数学下册-第十六章 二次根式 知识清单

第十六章 二次根式

思维导图

【二次根式】

(1)二次根式的概念

一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号,“a”称为被开方数.

(2)二次根式概念的理解

①“2”中一般把根指数2省略,写作“”,但不要误认为根指数是1或没有.

②二次根式中的a可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等。

③a≥0是为二次根式的前提条件,如，，， (x>y)是二次根式，

而， (负数没有算术平方根)不是二次根式。

④形如b (a≥0)的式子都是二次根式，如5是二次根式.

【二次根式有意义的条件】

(1)对于二次根式来说,被开方数a必须是一个非负数,即a≥0,当a是一个代数式时，可根据二次根式的概念来确定a中字母的取值范围，如是一个二次根式，则2-x≥0，∴x≤2.

(2)①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是使各个二次根式中的被开

方数都必须为非负数。例如:要使 +有意义,则x-1≥0且3-x≥0, ∴1≤x≤3

②如果所给的式子中含有分母,那么式子有意义的条件是除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不能为零。

典例1 (中考)二次根式中,x的取值范围为 。

解析: 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.则x-3≥0,解得x≥3

答案: x≥3

典例2 (中考)使代数式有意义的x的取值范围是 。

解析: 若要使代数式有意义,则x需要满足2x-1≥0且3-x≠0,解得x≥且x≠3

答案: x≥且x≠3

【二次根式的性质】

点拨：()2(a≥0)既可正向应用,也可逆向应用,如()2=5,反过来5=()2.在实数范围内分解因式或有关化简求值中应用此式较多,例如:分解因式a2-5=a2-()2=(a+)(a-)。

典例 (中考)若实数x,y满足|x-4|+=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为 。

解析：由绝对值和二次根式的非负性可得x-4=0，y-8=0，所以，x=4，y=8,以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为8+8+4=20.

答案：20

【与()2的区别与联系】

【代数式】

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式。例如3，x，x+y，( x≥0)，-ab，(t≠0)，x3都是代数式。

提醒

(1)单独一个数或字母也是代数式。

(2)代数式中不能含有“>”“≥”<”“≤”“≠”或“=”等符号.

典例 (中考)某校艺术班同学,每人都会弹钢琴或古筝,其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人,两种都会的有7人,设会弹古筝的有m人,则该班同学共有 人(用含m的

代数式表示)

解析: 会弹钢琴的人数是(m+10)人，由于两种都会的有7人，所以该班同学的人数是m+m+10-7=(2m+3)人

答案: 2m+3

【二次根式的乘法】

(1)二次根式的乘法法则

一般地，二次根式的乘法法则是·== (a≥0,b≥0)

二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变。

点拨 (1)在进行二次根式的乘法运算时,一定不能忽略其被开方数a,b均为非负数这一条件。

(2)当二次根式前面有系数时,可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数。

(2)二次根式的乘法法则的逆用

把·==反过来,就得到：

=· (a≥0,b≥0)

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以对二次根式进行化简。

提醒

(1)公式中的条件是限制等号的右边,对左边只需ab≥0即可例如: 有意义，计算时不能写成=×，而应为==×

(2)用此公式进行二次根式的化简时，被开方数一定是乘积的形式，以免出现=±的错误

【二次根式的除法】

(1)二次根式的除法法则

一般地,二次根式的除法法则是 = (a≥0,b>0)

二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变。

点拨 (1)a必须是非负数,b必须是正数,式子才成立若a,b都是负数虽然>0，有意义，

但，在实数范围内无意义；若b=0,则无意义

(2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须化成，以免出现=×这样的错误。

(2)二次根式的除法法则的逆用

把 = 反过来，就得到：=(a≥0,b>0)

商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

点拨 (1)利用此公式时要注意公式成立的限制条件:a≥0，b>0。

(2)利用此公式可以进行二次根式的化简、计算，可以化去根号内的分母。

【最简二次根式】

(1)最简二次根式的概念

①被开方数不含分母

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式

在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式,并且分母中不含二次根式。

(2)最简二次根式概念的理解

①被开方数中不含分母,也就是被开方数必须是整数或整式

②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2,即每个因数或因式的指数都是1。

典例 (中考)下列式子中,属于最简二次根式的是( )

A. B. C. D.

解析：∵=3，=2，== ，∴A，C，D项都不是最简二次根式。

答案：B

【二次根式的加减】

二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。

二次根式的加减法与整式的加减法类似,步骤如下:

(1)化成最简二次根式;

(2)找出被开方数相同的二次根式

(3)合并被开方数相同的二次根式——将系数相加减仍作为系数根指数与被开方数保持不变。

点拨 二次根式的加减与整式的加减相比,可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并。另外，有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

典例1 (中考)下列各式中,正确的是 ( )

A. += B.2+=2 C.3-=3 D. -=

解析：∵与不能合并，∴A错误；∵2和为不同的被开方数，不能直接相加，∴B错误；∵3-=2≠3，∴C错误；∵-=- = ，D正确。

答案：D。

典例2 (中考)计算-的结果是 。

解析：原式= -= =

答案：

【二次根式的混合运算】

(1)二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算。

(2)二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理数的混合运算.因此:①运算顺

序与有理数的运算顺序相同;②运算律仍然适用;③与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算;④对于分母含有二次根式的代数式,要掌握有理化的方法,化分母为整式,如：

= = ， = =

提醒

在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化。

典例1 （中考）计算：÷-×+

解：原式=-+2

=-+2

=4+ .

典例2 （中考）计算：(2-)2019·(2+)2020-2|- |-(-)0

解：原式=2019·(2+)--1

=2+--1

=1 .

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/802bf2339f3143323968011ca300a6c30d22f171.html