2012年普通高等学校招生全国统一考试(预测卷1)--数学（理）

2012年普通高等学校招生全国统一考试（预测卷1）

数学（理科）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式：球的表面积公式：S=，其中R表示球的半径

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分. 在每小题列出的四个选项只有一项是最符合题目要求的）

1.已知集合，，则

A. B. C. D.

2.已知，，是虚数单位，且，则的值为

A.4 B.-4 C. D.

3.一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为 ①长、宽不相等的长方形；②正方形；③ 圆；④ 椭圆. 其中正确的是

A.①② B.②③

C.③④ D.①④

4.在中，“”是“”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为，其大小关系为

A.

B.

C.

D.

6.若，且，则等于

A.35 B.-35 C.56 D.-56

7.已知命题：函数在区间上单调递减；：双曲线 的左焦点到抛物线的准线的距离为2. 则下列命题正确的是

A. B. C. D.

8.正项等比数列{}的公比q≠1，且，，成等差数列，则的值为

A.或 B. C. D.　　

9.卜阳老师在玩“开心农场”游戏的时侯，为了尽快提高经验值及金币值，打算从土豆、南瓜、桃子、茄子、石榴这5种种子中选出4种分别种在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物). 若打算在第一块空地上种南瓜或石榴，则不同的种植方案共有

A.36种 B.48种 C.60种 D.64种

10.一个三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为

A. B. C. D.

11.已知都是定义在R上的函数，，，且

，且，．若数列的前n项和大于

62，则n的最小值为

A.6 B.7 C.8 D.9

12.设，定义一种向量积.

已知，点P（x，y）在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f(x)的

图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f(x)的最大值为

A.1 B.3 C.5 D.

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13.已知变量满足约束条件，则的取值范围是 .

14.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数的值

是 ．

15.已知函数 的图象如图所示，它与直线在原点处

相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为 .

16.以下是对命题“若两个正实数满足，则”的证明过程：

证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以．

根据上述证明方法，若个正实数满足时，你能得到的结论为

.（不必证明）

三、解答题（本大题有8小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

在中，分别为角的对边，且满足.

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.

18.（本小题满分12分）

设有3个投球手，其中一人命中率为，剩下的两人水平相当且命中率均为，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为X.

（Ⅰ）当时，求E(X)及D(X)；

（Ⅱ）当，时，求X的分布列和E(X).

19.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面平面.

（Ⅰ）求证：点为棱的中点；

（Ⅱ）若二面角的平面角为，求的值.

20.（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直．直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．

21.（本小题满分12分）

已知函数同时满足如下三个条件：①定义域为；②是偶函数；③时，，其中.

（Ⅰ）求在上的解析式，并求出函数的最大值；

（Ⅱ）当，时，函数，若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数， ）.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直

线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，

MB，OT．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，试求的大小．

23．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系内，点 在曲线C：为参数，）

上运动．以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求面积

的最大值．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

关于的不等式.

（Ⅰ）当时，解此不等式；

（Ⅱ）设函数，当为何值时，恒成立？

参考答案

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题意要求的.

1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.D 7.A 8.C 9.B 10.A 11.A 12.D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 14.5 15. -3 16.

三、解答题（本大题有8小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（Ⅰ）在中，由及余弦定理得…2分

而，则； ……………4分

（Ⅱ）由及正弦定理得， ……6分

同理 ……………8分

∴ ………………10分

∵∴，

∴即时，。 …………………12分

18.（Ⅰ）当时，～.--------------------------3分

故，. ---------6分

（Ⅱ）的可取值为.

；

；

--------------------10分

的分布列为

----------------------12分

19.（1）过点作于点，取的中点，连。面面且相交于，面内的直线，面。……3分

又面面且相交于，且为等腰三角形，易知，面。由此知：，从而有共面，又易知面，故有从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点. ………………………………………6分

（2）（法一）面面，面面，面，延长交的延长线于点，过作交于点，连结，则，

为二面角的平面角，且， ……………9分

设由①易知，

则，

，

……………12分

（法二）建立如图所示直角坐标系，设，则，所以……………8分

设面的法向量为，则

可取又可取平面的法向量，…………………………………10分

据题意有：，

解得：所以……………………………………………………12分

20.（1）将整理得

解方程组得直线所经过的定点（0，1），所以．

由离心率得．

所以椭圆的标准方程为．------------------------------------------4分

（2）设，则．

∵，∴．∴

∴点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．……6分

又，∴直线的方程为．

令，得．又，为的中点，∴．……8分

∴，．

∴

．

∴．∴直线与圆相切．--------------------------------------------------------12分

21.（1）任取，

又f(x)是偶函数，故…………2分

由f(x)是定义域为的偶函数可知，f(x)在的最大值即可为f(x)的最大值.

当

…………5分

综上可知：

…………6分

另解：

由f(x)是定义域为的偶函数可知，f(x)在的最大值即可为f(x)的最大值.

当

当

此时…

当

①当

此时

②当

③

此时…………7分

综上可知：

（3）

==…9分

要函数的图象恒在直线y=e上方，

即成立，…………10分

，令=0，解得

①当

此时…………11分

②当

此时,

故时可满足题意；…………12分

③

此时…13分

综上可知：的图象恒在直线y=e上方，…………14分

（1）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定

理，，得

，设半径OB=，

因BD=OB，且BC=OC=，

则，，

所以

（2）由（1）可知，，

且，

故∽，所以；

根据圆周角定理得，，则

23．解：（1）消去参数，得曲线C的标准方程：

由得：，

即直线的直角坐标方程为：

（2）圆心到直线的距离为，

则圆上的点M到直线的最大距离

为（其中为曲线C的半径），

．设M点的坐标为，

则过M且与直线垂直的直线方程为：，

则联立方程，

解得，或，

经检验舍去．

故当点M为时，面积的最大值为

24．解：（1）当时，原不等式可变为，

可得其解集为

（2）设，

则由对数定义及绝对值的几何意义知，

因在上为增函数，

则，当时，，

故只需即可，

即时，恒成立

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