全等三角形难题（含答案）

全等三角形难题(含答案)

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

解：延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：

延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP

∵DP=DC,DA=DB

∴ACBP为平行四边形

又∠ACB=90

∴平行四边形ACBP为矩形

∴AB=CP=1/2AB

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF

连接BE

在三角形BEF中,BF=EF

∴ ∠EBF=∠BEF。

∵ ∠ABC=∠AED。

∴ ∠ABE=∠AEB。

∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD
DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（对顶角）
∴△EFD≌△CGD
EF＝CG
∠CGD＝∠EFD
又，EF∥AB
∴，∠EFD＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2
∴△AGC为等腰三角形，
AC＝CG
又 EF＝CG
∴EF＝AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）

∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180º

∵∠BFE+∠CFE=180º

∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD

CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）

∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，

∵∠EAB=∠BDE，

∴∠AED=∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形。

∴得：AE=BD，

∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等于三角形DBC，

∴∠F=∠C。

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：

△AED是等腰三角形。

∴AE=DE

而AB=CD

∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量）

∴△BEC是等腰三角形

∴∠B=∠C.

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

在AC上取点E，
使AE＝AB。
∵AE＝AB
AP＝AP
∠EAP＝∠BAE，
∴△EAP≌△BAP
∴PE＝PB。
PC＜EC＋PE
∴PC＜（AC－AE）＋PB
∴PC－PB＜AC－AB。

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：
在AC上取一点D，使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上，
在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE

17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

∵作AG∥BD交DE延长线于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2

18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

解：延长AD至BC于点E,
∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
｛AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC

19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

证明：

∵OM平分∠POQ

∴∠POM＝∠QOM

∵MA⊥OP，MB⊥OQ

∴∠MAO＝∠MBO＝90

∵OM＝OM

∴△AOM≌△BOM （AAS）

∴OA＝OB

∵ON＝ON

∴△AON≌△BON （SAS）

∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB

∵∠ONA+∠ONB＝180

∴∠ONA＝∠ONB＝90

∴OM⊥AB

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

word/media/image17_1.png

做BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

word/media/image18_1.png

延长AC到E
使AE=AC 连接 ED

∵ AB=AC+CD

∴ CD=CE
可得∠B=∠E

△CDE为等腰
∠ACB=2∠B

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．

23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：△AED≌△EBC．

word/media/image21_1.png（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

证明：

∵DC∥AB

∴∠CDE＝∠AED

∵DE＝DE，DC＝AE

∴△AED≌△EDC

∵E为AB中点

∴AE＝BE

∴BE＝DC

∵DC∥AB

∴∠DCE＝∠BEC

∵CE＝CE

∴△EBC≌△EDC

∴△AED≌△EBC
24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

word/media/image22_1.png求证：BD=2CE．

证明：
∵∠CEB=∠CAB=90°

∴ABCE四点共元

∵∠AB E=∠CB E

∴AE=CE

∴∠ECA=∠EAC

取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG

∴∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）

∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB

而：AC=AB

∴△AEC≌△AGB

∴EC=BG=DG

∴BE=2CE
25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

word/media/image23_1.png

证明：∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）
26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。

word/media/image24_1.png

证明：

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM

∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

word/media/image25_1.png

∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD

∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

word/media/image26_1.png

在△ABD与△ACD中

AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中

BD=DC

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD≌△FCD

∴BF=FC

29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

word/media/image27_1.png

∵AB=DC

AE=DF,

CE=FB

CE+EF=EF+FB

∴△ABE=△CDF

∵∠DCB=∠ABF

AB=DC BF=CE

△ABF=△CDE

∴AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证明：连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM（SAS）
∴CF=BE
31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．

∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）
∵BE=DF
∴：△ABE≌△CDF（SAS）

32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。

连接BD；
∵AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC；
∵BC=DC E\F是中点
∴DE=BF；
∵AB=AD DE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

word/media/image31_1.png

证明：

在△ADC，△ABC中

∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA

∴△ADC≌△ABC（两角加一边）

∵AB=AD，BC=CD

在△DEC与△BEC中

∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD

∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）

∴∠DEC=∠BEC

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．

∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF（ASA）

35．已知：如图，AB=AC，BD AC，CE AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．

证明：
∵BD⊥AC

∴∠BDC=90°

∵CE⊥AB

∴∠BEC=90°

∴∠BDC=∠BEC=90°

∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC

∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)
∴BE=CD

36、 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DE=DF．

证明：
∵AD是∠BAC的平分线

∴∠EAD=∠FAD

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BFD=∠CFD=90°

∴∠AED与∠AFD=90°

在△AED与△AFD中

∠EAD=∠FAD

AD=AD

∠AED=∠AFD

∴△AED≌△AFD（AAS）

∴AE=AF

在△AEO与△AFO中

∠EAO=∠FAO

AO=AO

AE=AF

∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF=90°

∴AD⊥EF

37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？

∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）
∴AD=AB=5

38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC

word/media/image37_1.png

证明：
∵AB=AC

∴∠B=∠C

∵ME⊥AB，MF⊥AC

∴∠BEM=∠CFM=90°

在△BME和△CMF中

∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF

∴△BME≌△CMF（AAS）

∴MB=MC．

39.如图，给出五个等量关系：①②③④⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．

已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA
求证：△DAB≌△CBA
证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA

40．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①≌；②；

(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE

41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，

即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF；

（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴EC⊥BF．

42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

word/media/image57_1.png

证明：

（1）

∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC，CN=AB

∴△ABM≌△NAC

∴AM=AN

（2）

∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF

在△ABF和△CDE中

,AB=DE

∠A=∠D

AF=CD

∴△ABF≡△CDE（边角边）

∴FB=CE

在四边形BCEF中

FB=CE

BC=EF

∴四边形BCEF是平行四边形

∴BC‖EF

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

在AB上取点N ,使得AN=AC

∵∠CAE=∠EAN
∴AE为公共,
∴△CAE≌△EAN

∴∠ANE=∠ACE

又∵AC平行BD

∴∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

∴∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

∵BE为公共边
∴△EBN≌△EBD

∴BD=BN

∴AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

证明：
∵AD是△ABC的中线
BD=CD
∵DF=DE（已知）
∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC
则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。

46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．

求证：．

证明：

∵DE⊥AC，BF⊥AC

∴∠CED=∠AFB=90º

又∵AB=CD，BF=DE

∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）

∴AF=CE

∠BAF=∠DCE

∴AB//CD

47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

word/media/image64_1.png

∵,∠3=∠4

∴OB=OC

在△AOB和△DOC中

∠1=∠2

OB=OC

∠AOB=∠DOC

△AOB≌△DOC

∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB

在△ACB和△DBC中

AC=DB

,∠3=∠4

BC=CB

△ACB≌△DBC

∴AB=CD

48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.

CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。

证明：

过D作AE平行线与AC交于F，连接FB

由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。

RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°

∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°

△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°

RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45°

∠AFB=90°-∠FBA>45°

∴AB>AF

∵AB=CE AF=DE

∴CE>DE

49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.

∵AB=DC,AC=DB，BC=BC

∴△ABC≌△DCB，

∴∠ABC=∠DCB

又∵BE=CE，AB=DC

∴△ABE≌△DCE

∴AE=DE

50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

作CG⊥AB,交AD于H,
则∠ACH=45º,∠BCH=45º
∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º
∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB
∴△CFD≌△BED
∴∠ADC=∠BDE

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/71143dbca55177232f60ddccda38376bae1fe045.html