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[期末试卷]江苏省泰州市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理科）试题Word版含解析

发布时间：2018-02-20 09:29:30 来源：文档文库

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泰州市2017～2018学年度第一学期期末考试

高二数学(理科)试题

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1. 命题“若，则”的逆命题为______．

【答案】若，则

【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”.

2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为______．

【答案】

【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为.

3. 抛物线的准线方程为______．

【答案】y=-2

【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填

4. 函数在处的切线的斜率为______．

【答案】

【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.

5. 双曲线的渐近线的方程为______．

【答案】

【解析】令，即，即双曲线的渐近线的方程为.

6. 椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．

【答案】

【解析】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.

7. 若“”是“不等式” 成立的充分条件，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】因为，且“”是“不等式” 成立的充分条件，所以，则，解得，即实数的取值范围是.

点睛：本题考查充分条件和必要条件的判定；在处理涉及数集的充分条件或必要条件的判定时，往往将问题转化为集合间的包含关系处理，已知命题，若，则是的充分条件，是的必要条件.

8. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则______．

【答案】4

【解析】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，解得.

点睛：本题考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线上一点到其焦点的距离为,抛物线上一点到其焦点的距离为，等等.

9. 已知，若（），则______．

【答案】63

【解析】由归纳，得，即，即.

10. 已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为______．

【答案】10

【解析】因为双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，所以该点到右焦点的距离为，且离心率为，设点到右准线的距离为，则由双曲线的第二定义，得，解得，即点到右准线的距离为10.

点睛：本题考查双曲线的第一定义和第二定义的应用；椭圆和双曲线均有两个定义，第一定义是到两个定点的和（或差的绝对值）为定值的动点的轨迹，但要注意定值和两个定点间的距离的大小关系，第二定义是圆锥曲线的统一定义，是到定点到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹，但要注意定点不在定直线上.

11. 为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为______．

【答案】

【解析】设，则，

，即线段长度的最小值为.

12. 若函数在处取得极小值，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】由题意，得，

..................

点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，若时，，时，，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.

13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．

【答案】

点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆的左焦点与对称轴垂直的弦称为椭圆的通径，长度为，记住结论可减少运算量.

14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】当时，在上递增，显然成立；当时，

，在恒成立，即，即；

当时，的对称轴为，当，即时，，可得，显然成立；当，即时，，可得，即，解得，综上所述，，即的取值范围为.

点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：

（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；

（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 已知复数．

⑴求；

⑵若复数满足为实数，求．

【答案】⑴⑵

【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.

试题解析：⑴

⑵∵

∴

∵为实数

∴ ∴

16. 已知：，；：方程表示双曲线．

⑴若为真命题时，求实数的取值范围；

⑵当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围．

【答案】⑴⑵

【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式恒成立和判别式为负进行求解；（2）先利用双曲线的标准方程的特点求出的范围，再利用真值表判定两简单命题的真假，再利用集合的运算进行求解.

试题解析：⑴∵，

∴，解得

⑵∵方程表示双曲线

∴，解得

∵为假命题，且为真命题

∴

17. ⑴当时，求证：；

⑵用数学归纳法证明．

【答案】⑴见解析⑵见解析

【解析】试题分析：（1）利用作差法进行证明；（2）利用数学归纳法的步骤进行证明.

试题解析：⑴

∵ ∴

∴

⑵①当时，左边

所以当时，命题成立；

②假设当时，命题成立

则有

则当时，左边

所以当时，命题也成立

综上①②可知原命题成立

点睛：本题考查利用作差法和数学归纳法证明不等式；在利用数学归纳法证明不等式时，其关键步骤是研究当到时，不等式的左边和右边各多了几项，多了哪些项，如何合理进行放缩.

18. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．

⑴求的表达式；

⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．

【答案】⑴⑵见解析

【解析】试题分析：（1）利用题意提取有关知识，利用函数模型建立表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最小值.

试题解析：⑴

整理得，

⑵

由得

所以在上单调递减，在上单调递增

故当时，取得最小值

答：⑴

⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．

19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．

⑴求椭圆的标准方程；

⑵当直线的斜率为时，求的面积；

⑶试比较与大小．

【答案】⑴⑵⑶见解析

【解析】试题分析：（1）利用离心率、左顶点坐标求解即可；（2）根据直线过原点且斜率为写出直线方程，联立直线和椭圆方程，求出，再写出直线的方程，求出点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解；（3）设直线的方程为，，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式及椭圆的对称性进行求解.