制作一个尽可能大的无盖长方体
韩泽尧
西北工业大学附属中学初一三班
一． 问题的提出
我曾经很喜欢将包装盒拆开，研究他们的展开图，这些盒子尽管形状各异，做法各有千秋，但他们的展开图用数学思想都可以进行简化，最简单的模型是，在一张长方形纸张上，将四个角各减去一个同样大小的正方形，折叠起来形成一个最简单的无盖长方体。问题出来了，这些盒子在什么情况下体积最大呢？于是，我决定对这个问题进行深入的研究。
二． 研究的方法
1. 数据计算法
2.画图法
3.列表法
三．研究过程
先考虑这样一个特例：“一张长20cm，宽10cm的纸，在它的四个角各剪去一个小正方形（如上图），怎样得到的长方体体积最大？”
设剪去的小正方形边长为x
因为这张纸的宽为10cm，所以x不会大于5
即 0＜x＜5
则此长方体的容积为（忽略纸的厚度）：
我们依次取x=0.2，0.4， 0.6------ 来计算此长方体的体积
当x=0.2时 V==37.632
当x=0.4时 V=70.656
-------------
列表如下（单位：cm）
：
用柱状图表示如下：
折线图表示如下
用微分法来求取特定点
可以将当做一个函数来对待
令f（x）=（20-2x）（10-2x）x
根据图像可得，此函数图像的顶点即为体积的最大值
所以当f’(x)=0时，求出x的值，就能求出最大的容积
我们用逼近x，进而求出f’（x）
f’ （x）=
=
=
=
=200
这时，令，则
f’（x）=200-120x+12 ,当其等于零，即200-120x+12
=0时
计算得
7.8868，
2.1132，考虑到0＜x＜5，因此
7.8868不能满足，应舍去，所以x
2.1132
即当2.1132时，体积v=（20-2x）（10-2x）x的值最大，这与刚才画图所得结论x=2.2相符。
四 一般情况的研究：
一般地，若一个长方形的长为a,宽为b，在它的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，做出的长方体的容积为V=,同上思路
f’（x）=
=
=
=
令，则f’（x）=ab+
f’（x）=0,求解得x=,
化简得ｘ＝(
)
将上述代数式代入V=，就可以求的最大体积。
五 我的感受
写完这篇研究报告，我感触颇多，深刻地领会了数学的神奇和知识的重要。这次活动一来实践了我在书本上看到的理论知识，二来对这些知识的综合运用又极大地提高了我解决一些数学问题的信心，我希望这样的活动以后多多举办。
参考资料： <<什么是数学>> 423---430页
复旦大学出版社 2012年第三版
R--柯朗 H-- 罗宾著
I--- 斯图尔特修订
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/56563e29581b6bd97f19ead8.html
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