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排列组合测试题含答案

发布时间：2019-10-05 07:44:10 来源：文档文库

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排列组合 2016.11.16

一、选择题：

1．将eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个不同的小球放入a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个盒子中，则不同放法种数有

A．43ec517d68b6edd3015b3edc9a11367b.png B．ea5d2f1c4608232e07d3aa3d998e5135.png C．c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png D．aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png

2．e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有

A．5ef659287831634a870f0dbfadcc1569.png B．95d081b246d9d5058447c1b4ee989c38.png C．ae97b275374dd25ddd31b185108d72ae.png D．6c8e5a611ecbe355fbe90940d829ebb9.png

3．fb2ae5db06efd8297195270bdc4fb60b.png共e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png个人，从中选1名组长1名副组长，但0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png不能当副组长，不同的选法总数是

A.98f13708210194c475687be6106a3b84.png B．c74d97b01eae257e44aa9d5bade97baf.png C．d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png D．1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png

4．现有男、女学生共c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png人，从男生中选c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png人，从女生中选c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有8613985ec49eb8f757ae6439e879bb2a.png种不同方案，那么男、女生人数分别是

A．男生c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png人女生1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png人 B．男生eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png人女生e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png人

C．男生e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png人女生eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png人 D．男生1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png人女生c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png人.

5． 6．

A．045117b0e0a11a242b9765e79cbf113f.png B．8613985ec49eb8f757ae6439e879bb2a.png C．6c8349cc7260ae62e3b1396831a8398f.png D．e7b24b112a44fdd9ee93bdf998c6ca0e.png

6．由数字c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png、c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png、eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png、a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png、e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png组成没有重复数字的五位数，其中小于1017bfd4673955ffee4641ad3d481b1c.png的偶数共有

A．072b030ba126b2f4b2374f342be9ed44.png个 B．642e92efb79421734881b53e1e1b18b6.png个 C．19ca14e7ea6328a42e0eb13d585e4c22.png个 D． 1ff1de774005f8da13f42943881c655f.png个

7．eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png张不同的电影票全部分给d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是

A．f4573fc71c731d5c362f0d7860945b88.png B．da4fb5c6e93e74d3df8527599fa62642.png C．335f5352088d7d9bf74191e006d8e24c.png D．5f2c22cb4a5380af7ca75622a6426917.png

8．7034cf2cdfa4db53a368006b058bd494.png且a603732095f57b3f4819ea046dca2a7b.png,则乘积a76fef34c7e82b9257484a2b00acc99b.png等于

A．b7c2eb225185db288348d85ebbfc0946.png B．f120048f1eb53e1386f5006d99fd8255.png C．03e1b1e4f3847d0246c32ab7d52ae34e.png D．f869ff19ca7367e4a51befec8434d5ad.png

9．从不同号码的e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png双鞋中任取a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png只，其中恰好有c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png双的取法种数为

A．da4fb5c6e93e74d3df8527599fa62642.png B．335f5352088d7d9bf74191e006d8e24c.png C．92c8c96e4c37100777c7190b76d28233.png D．072b030ba126b2f4b2374f342be9ed44.png

10．不共面的四个定点到面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的距离都相等，这样的面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png共有几个

A．eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png B．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png C．1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png D．8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png

11．设含有d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png个元素的集合的全部子集数为5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png，其中由eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个元素组成的子集数为b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png，则1cf67e1af6f03463f8737ac844e7325f.png的值为

A.296b82d0dc8ad9c8ffcc529a98fd3c4f.png B．1b23dde9af0aa57d968ebd92370db812.png C．5640867f10fcd0f0f42388a4cc4be4ee.png D．e80c2fa55509449996cb8b114c090128.png

15．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png名男生，a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法. （8640 ）

17．在e87a6eedc35631b38e2535b9d13484bf.png的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个. （840）

18．用eeb155b7408ea5ef68c2bf7c6118894b.png四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为48aedb8880cab8c45637abc7493ecddd.png,则9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png= . （2）

5．若4801b0b21b44c09ffd97aab09c7cf65a.png则自然数260b6099fd117588a809e4fb924e1d63.png_____.(13)

19．7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？( 2n)

20．已知集合b49d4ce60830a236482ec96edcd2adfc.png,5e675f83673acdb99c8b12471f7d5581.png,从集合5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png,44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个. (23)

22．2b6d9f3208378f2e0c6b5e0cba43eafa.png，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.105

23．c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png张椅子排成,有a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个人就座,每人c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个座位,恰有eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个连续空位的坐法共有多少种?_______ 480

25．8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？

（1）甲排头:

（2）甲不排头，也不排尾:

（3）甲、乙、丙三人必须在一起:

（4）甲、乙之间有且只有两人:

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻:

（6）甲在乙的左边（不一定相邻）:

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序:

（8）甲不排头，乙不排当中:

解：（1）甲固定不动，其余有aec198091488f205d493415366ffdd01.png，即共有aec198091488f205d493415366ffdd01.png种；

（2）甲有中间e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png个位置供选择，有8dde65775e9bbd4a863cd9df98feedc3.png，其余有aec198091488f205d493415366ffdd01.png，即共有1eaebbbc074956a781df3f18c12b08f2.png种；

（3）先排甲、乙、丙三人，有5ef659287831634a870f0dbfadcc1569.png，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png人的全排列，即a93c1fb8bf1765ea86126841f7f9a1e4.png，则共有07232c8a9e3f500704a447daecce906a.png种；

（4）从甲、乙之外的e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png人中选c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个人排甲、乙之间，有685fb4e91d2355ac467eea1c545f3ab1.png，甲、乙可以交换有a37b83e8d8852e12b43e464ea011a694.png，

把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png人的全排列，

则共有6d35c755c5f6a858beb9d52a98dc6ae6.png种；

（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有43cb2da6987105587b14e3b8b8697694.png，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排

这五个空位，有c1fe0674627a495c0bf786d3013a3ef8.png，则共有9af90e69aa1585d8b0a3c3836be827e3.png种；

（6）不考虑限制条件有ec140a7ba4779aca7cf945f84b611466.png，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，

即65b4537095031a9ab65298dd21ef0beb.png种；

（7）先在8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有3fb0aa39ca4939c27fd3206d198e6017.png，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即3e638ea806cf7525fce2936a8c8f7159.png

（8）不考虑限制条件有ec140a7ba4779aca7cf945f84b611466.png，而甲排头有4c7a1c5fde92311461b6f240dc29b3e5.png，乙排当中有4c7a1c5fde92311461b6f240dc29b3e5.png，这样重复了甲排头，乙排当中a93c1fb8bf1765ea86126841f7f9a1e4.png一次，即1fd08f157e55fd4e684be8e832ca2435.png

1．1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png个人坐在一排d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位只有eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个相邻的坐法有多少种?(3) a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位至多有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻的坐法有多少种?

解：1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png个人排有4c7a1c5fde92311461b6f240dc29b3e5.png种, 1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png人排好后包括两端共有8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个“间隔”可以插入空位.

(1)空位不相邻相当于将a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位安插在上述8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个“间隔”中,有27a4e66ec1f6b64d6f90c3ee52707813.png种插法，

故空位不相邻的坐法有f5f83a4d169687ab6e77693ef3088ebe.png种。

(2)将相邻的eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个“间隔”里插

有fd33bc76d11fb0e76cb08ba6f2b29fa0.png种插法,故a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位中只有eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个相邻的坐法有8734e3f6e16fa1902574b91437fcbc05.png种。

(3) a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位至少有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻的情况有三类：

①a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位各不相邻有c6ed1179c626226d29a06d2e16c7c1d8.png种坐法;

②a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻，另有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个不相邻有59a7ce0dfc51d20049e8220a362fb27d.png种坐法;

③a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位分两组,每组都有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻,有a7d0768f01c6d3fe016de6efb4cbc93a.png种坐法.

综合上述,应有32650839889adea29171bf8db98b0aa0.png种坐法。

2．有1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png个球,其中eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个黑球,红、白、蓝球各c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个，现从中取出a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个球排成一列，共有多少种不同的排法？

解：分三类：若取c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个黑球，和另三个球，排a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个位置，有68f61329777dc272f4bd9ad8e5d6042a.png；

若取c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个黑球，从另三个球中选c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个排a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个位置，c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个黑球是相同的，

自动进入，不需要排列，即有57a8e8428b6f805a44de569cb11b0f85.png；

若取eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个黑球，从另三个球中选c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个排a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个位置，eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个黑球是相同的，

自动进入，不需要排列，即有a0647e24990c6789c2928c6372e70b77.png；

所以有ef65508c60a39f1fc0198bceda4e8c2e.png种。

15、5aaffbae8a48fc24f114ee4dcd9c6171.png

16、c86c8616c03734bf091609cb73773a1a.png

17、fa83a11a198d5a7f0bf77a1987bcd006.png

18、2

19、9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png

20、 23

21、15

22、105

23、480

24、0.956

25．解：（1）甲固定不动，其余有aec198091488f205d493415366ffdd01.png，即共有aec198091488f205d493415366ffdd01.png种；

（2）甲有中间e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png个位置供选择，有8dde65775e9bbd4a863cd9df98feedc3.png，其余有aec198091488f205d493415366ffdd01.png，即共有1eaebbbc074956a781df3f18c12b08f2.png种；

（3）先排甲、乙、丙三人，有5ef659287831634a870f0dbfadcc1569.png，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png人的全排列，即a93c1fb8bf1765ea86126841f7f9a1e4.png，则共有07232c8a9e3f500704a447daecce906a.png种；

（4）从甲、乙之外的e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png人中选c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个人排甲、乙之间，有685fb4e91d2355ac467eea1c545f3ab1.png，甲、乙可以交换有a37b83e8d8852e12b43e464ea011a694.png，

把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png人的全排列，

则共有6d35c755c5f6a858beb9d52a98dc6ae6.png种；

（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有43cb2da6987105587b14e3b8b8697694.png，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排

这五个空位，有c1fe0674627a495c0bf786d3013a3ef8.png，则共有9af90e69aa1585d8b0a3c3836be827e3.png种；

（6）不考虑限制条件有ec140a7ba4779aca7cf945f84b611466.png，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，

即65b4537095031a9ab65298dd21ef0beb.png种；

（7）先在8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有3fb0aa39ca4939c27fd3206d198e6017.png，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即3e638ea806cf7525fce2936a8c8f7159.png

（8）不考虑限制条件有ec140a7ba4779aca7cf945f84b611466.png，而甲排头有4c7a1c5fde92311461b6f240dc29b3e5.png，乙排当中有4c7a1c5fde92311461b6f240dc29b3e5.png，这样重复了甲排头，乙排当中a93c1fb8bf1765ea86126841f7f9a1e4.png一次，即1fd08f157e55fd4e684be8e832ca2435.png

6．解：设d9106c78170d3f478858051d80cb1353.png，令a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png，得e6f8b7344f0bc6400409a525e5744898.png

令e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png，得dedbcd4ea0d07962fdad4fc7e0418df8.png

ec3afc4e91c170b46257100546271791.png

5116a8d21603b265606b82385203ba52.png

4．已知ef195ac88e8c6566661b46224db57b06.png展开式中的二项式系数的和比5f2a67355f92049733cf138757b96516.png展开式的二项式系数的和大76dc611d6ebaafc66cc0879c71b5db5c.png,求ef195ac88e8c6566661b46224db57b06.png展开式中的系数最大的项和系数量小的项.

5．（2）8484b77bfbe6e26fbaa0087732387b1d.png的展开式奇数项的二项式系数之和为76dc611d6ebaafc66cc0879c71b5db5c.png，

则求展开式中二项式系数最大项。

(数学选修2--3) 第一章计数原理

[综合训练B组]

一、选择题

二、填空题

[提高训练C组]

一、选择题

4．设含有d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png个元素的集合的全部子集数为5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png，其中由eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个元素组成的子集数为b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png，则1cf67e1af6f03463f8737ac844e7325f.png的值为A.296b82d0dc8ad9c8ffcc529a98fd3c4f.png B．1b23dde9af0aa57d968ebd92370db812.png C．5640867f10fcd0f0f42388a4cc4be4ee.png D．e80c2fa55509449996cb8b114c090128.png

5．若c397115e8cbd017af9a3e8ffd4363ece.png，则f19e1180965a0919f9be5127605fd2b2.png的值为

A.c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png B．768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png C．cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png D．c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png

二、填空题

2．在△4d1904de6c15b2cf5e4cf3236746ec8e.png的边ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png上有e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png个点，边02254216324801a8211731781e7eb52e.png上有1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png个点，加上f186217753c37b9b9f958d906208506e.png点共个点，以这c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png个点为顶点的三角形有个.

5．若4801b0b21b44c09ffd97aab09c7cf65a.png则自然数260b6099fd117588a809e4fb924e1d63.png_____.(13)

三、解答题

1．1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png个人坐在一排d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位只有eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个相邻的坐法有多少种?(3) a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位至多有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻的坐法有多少种?

解：1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png个人排有4c7a1c5fde92311461b6f240dc29b3e5.png种, 1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png人排好后包括两端共有8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个“间隔”可以插入空位.

(1)空位不相邻相当于将a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位安插在上述8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个“间隔”中,有27a4e66ec1f6b64d6f90c3ee52707813.png种插法，

故空位不相邻的坐法有f5f83a4d169687ab6e77693ef3088ebe.png种。

(2)将相邻的eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个“间隔”里插

有fd33bc76d11fb0e76cb08ba6f2b29fa0.png种插法,故a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位中只有eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个相邻的坐法有8734e3f6e16fa1902574b91437fcbc05.png种。

(3) a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位至少有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻的情况有三类：

①a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位各不相邻有c6ed1179c626226d29a06d2e16c7c1d8.png种坐法;

②a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻，另有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个不相邻有59a7ce0dfc51d20049e8220a362fb27d.png种坐法;

③a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位分两组,每组都有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻,有a7d0768f01c6d3fe016de6efb4cbc93a.png种坐法.

综合上述,应有32650839889adea29171bf8db98b0aa0.png种坐法。

2．有1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png个球,其中eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个黑球,红、白、蓝球各c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个，现从中取出a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个球排成一列，共有多少种不同的排法？

解：分三类：若取c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个黑球，和另三个球，排a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个位置，有68f61329777dc272f4bd9ad8e5d6042a.png；

若取c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个黑球，从另三个球中选c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个排a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个位置，c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个黑球是相同的，

自动进入，不需要排列，即有57a8e8428b6f805a44de569cb11b0f85.png；

若取eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个黑球，从另三个球中选c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个排a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个位置，eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个黑球是相同的，

自动进入，不需要排列，即有a0647e24990c6789c2928c6372e70b77.png；

所以有ef65508c60a39f1fc0198bceda4e8c2e.png种。

数学选修2-3 第一章计数原理 [基础训练A组]

一、选择题

1．B 每个小球都有a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png种可能的放法，即1a3ad052e0d093c4349c17d915fa47c1.png

2．C 分两类：（1）甲型c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png台，乙型c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png台：08d2722ad9e637c0cf7046d47b6f66f7.png；（2）甲型c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png台，乙型c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png台：bcc3727c0c6ab8556ccae04d8d2a373d.png

e4fd39d64b11a5c436dc41197edcb7df.png

3．C 不考虑限制条件有a93c1fb8bf1765ea86126841f7f9a1e4.png，若甲，乙两人都站中间有ad086effbfc5cdcc73ebfecde6c668f9.png，ae97b275374dd25ddd31b185108d72ae.png为所求

4．B 不考虑限制条件有685fb4e91d2355ac467eea1c545f3ab1.png，若0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png偏偏要当副组长有6880413db5061526dcf682308a0f3730.png，e6224b942fa446b4df095e246aa929a2.png为所求

5．B 设男学生有9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png人，则女学生有33859834e583efeeb16668c839182a0f.png人，则7a2bdb2fc62febac7afb24547e5f5010.png

即d3d77fba07ec3e2b9d874d5a5a98c874.png

6．A 91227923a1e2bde1fbd84d041664d46e.png

令6d8ea2c0d2bfd411764496603d08b3f9.png

7．B 5d10332b001952eb9b6cc61d09f7b465.png

8a3a35d5ee6c2841f6c98c6f0deddc5d.png

8．A 只有第六项二项式系数最大，则9601748c16335f4cd6936f636a4c8951.png，

fbeb04ffc8b95fc860e90a7f9ca8b729.png，令bab19687a49f83aa4f5fc6e70e25977e.png

二、填空题

1．（1）d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png b9b67e8e69ae0f39ec93245ccc00810e.png；（2） e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png 91a609592d4e12e11a0c7618f3deea9f.png；（3）aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png 77bcad034348e817cf5906dd0fd36e42.png

2．5aaffbae8a48fc24f114ee4dcd9c6171.png 先排女生有54a9fcac77998a5e1f3a17c32ba45e44.png，再排男生有43cb2da6987105587b14e3b8b8697694.png，共有e9dd5e4c1ddbf0ea258b1fb7b497ae2a.png

3．6ea2ef7311b482724a9b7b0bc0dd85c6.png cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png既不能排首位，也不能排在末尾，即有6880413db5061526dcf682308a0f3730.png，其余的有a93c1fb8bf1765ea86126841f7f9a1e4.png，共有8f42963729a1c592109822ea51cf04a4.png

4．865dfbde8a344b44095495f3591f7407.png 0c6120c6fab807f85558a5a756e9fed7.png，令abd7bfd98f0c090529ff0fd1c466ce57.png

5．c86c8616c03734bf091609cb73773a1a.png 7ca420a7173a5c44084ddd5dd776521c.png

6．fa83a11a198d5a7f0bf77a1987bcd006.png 先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有685fb4e91d2355ac467eea1c545f3ab1.png，其余的fd33bc76d11fb0e76cb08ba6f2b29fa0.png，共有254307c6fb7afdc8390c7cc6c4a1a87c.png

7．c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png 当7f36509f20b76eba66f86f3316fd7d8e.png时，有68f61329777dc272f4bd9ad8e5d6042a.png个四位数，每个四位数的数字之和为5c7eacb785a4ab4e1976460ab731696b.png

7fdf8fc46bf5c349e9bde641752fdd6c.png；当e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png时，48aedb8880cab8c45637abc7493ecddd.png不能被d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png整除，即无解

8．dd5c25815ea64c1c15cf6eef3ee527ea.png 不考虑cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png的特殊情况，有17bbcee1555a8d1c042de7f9f01ebf98.png若cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png在首位，则792a8a4a648b12ec029aae88a10395f2.png

fadbce7e78ae084256286feca8a564f4.png

三、解答题

1．解：（1）word/media/image251.gif是排列问题，共通了4d5d0a9812cb8a73878b6230ada02c58.png封信；word/media/image253.gif是组合问题，共握手1321032553ff63c9d85926ef7b250f75.png次。

（2）word/media/image251.gif是排列问题，共有55d7f2369fa0c800eec31b87ed8623aa.png种选法；word/media/image253.gif是组合问题，共有a53cc03c2445977fc8492d7a6f74b9c8.png种选法。

（3）word/media/image251.gif是排列问题，共有dcc03aa7a8ab4b3a1a6f77d2d1e34604.png个商；word/media/image253.gif是组合问题，共有424b213365a2897facff37685bbd3bf9.png个积。

2．解：（1）甲固定不动，其余有aec198091488f205d493415366ffdd01.png，即共有aec198091488f205d493415366ffdd01.png种；

（2）甲有中间e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png个位置供选择，有8dde65775e9bbd4a863cd9df98feedc3.png，其余有aec198091488f205d493415366ffdd01.png，即共有1eaebbbc074956a781df3f18c12b08f2.png种；

（3）先排甲、乙、丙三人，有5ef659287831634a870f0dbfadcc1569.png，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png人的全排列，即a93c1fb8bf1765ea86126841f7f9a1e4.png，则共有07232c8a9e3f500704a447daecce906a.png种；

（4）从甲、乙之外的e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png人中选c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个人排甲、乙之间，有685fb4e91d2355ac467eea1c545f3ab1.png，甲、乙可以交换有a37b83e8d8852e12b43e464ea011a694.png，

把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png人的全排列，

则共有6d35c755c5f6a858beb9d52a98dc6ae6.png种；

（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有43cb2da6987105587b14e3b8b8697694.png，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排

这五个空位，有c1fe0674627a495c0bf786d3013a3ef8.png，则共有9af90e69aa1585d8b0a3c3836be827e3.png种；

（6）不考虑限制条件有ec140a7ba4779aca7cf945f84b611466.png，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，

即65b4537095031a9ab65298dd21ef0beb.png种；

（7）先在8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有3fb0aa39ca4939c27fd3206d198e6017.png，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即3e638ea806cf7525fce2936a8c8f7159.png

（8）不考虑限制条件有ec140a7ba4779aca7cf945f84b611466.png，而甲排头有4c7a1c5fde92311461b6f240dc29b3e5.png，乙排当中有4c7a1c5fde92311461b6f240dc29b3e5.png，这样重复了甲排头，乙排当中a93c1fb8bf1765ea86126841f7f9a1e4.png一次，即1fd08f157e55fd4e684be8e832ca2435.png

3．解：18318b99e59a31f4dc02a6a07c95ab58.png

4b047a0337512fa0c9d4cde770d8ec83.png

得5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png

2d9067d6a74c1bc0bcab80289ed87ff8.png

4．解：370b903e3914468667d7f644a7d0af8f.png，31be6301753efc524667398002989fcf.png的通项5cd31cecd39379b1eaf74a9d05a7d498.png

当2b1ddd1a641cec0301fd8f3ecece88b3.png时，展开式中的系数最大，即e5933e73f5b08577adc63481b80ff5dc.png为展开式中的系数最大的项；

当cae3b64d2f46d6922f38ba8821ed87eb.png时，展开式中的系数最小，即27e055b09881627e6e2a84a0cd5d967d.png为展开式中

的系数最小的项。

5．解：（1）由已知得5a0a7c4208f89845bf9ce2429f158e5f.png

（2）由已知得62819595a726791434c818dce06be077.png，而展开式中二项式

系数最大项是c54c8d0d8b7793b11718409e1c0fc5f1.png。

6．解：设d9106c78170d3f478858051d80cb1353.png，令a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png，得e6f8b7344f0bc6400409a525e5744898.png

令e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png，得dedbcd4ea0d07962fdad4fc7e0418df8.png

ec3afc4e91c170b46257100546271791.png

5116a8d21603b265606b82385203ba52.png

数学选修2-3 第一章计数原理 [综合训练B组]

一、选择题

1．C 个位ba6c1a6ecf71fd581670082e2b16ed21.png，万位492bc11d7654f23813e543a40f8fb725.png，其余5ef659287831634a870f0dbfadcc1569.png，共计709f9e08ef1f060278371abed9c7088d.png

2．D 相当于eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个元素排d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png个位置，94ccbeac47e5accfe240018034e04477.png

3．B 从a470e1d13dafa9353e10d68cd2287b84.png到bee88cdb30fce431dd1e59f01e63c04b.png共计有9bf31c7ff062936a96d3c8bd1f8f2ff3.png个正整数，即f120048f1eb53e1386f5006d99fd8255.png

4．A 从d517005fe285365ececc85c17b13e548.png中选c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个，有c06d6a676681ce50854c42e83eb5c708.png，把b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png看成一个整体，则eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个元素全排列，5ef659287831634a870f0dbfadcc1569.png

共计d7651b0b896796a73d5bf6dae9d2e358.png

5．A 先从e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png双鞋中任取c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png双，有f9e7c4500bc40723d693171c79d01c18.png，再从c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png只鞋中任取c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png只，即31ced27beb097b4e979451d059b5321c.png，但需要排除

a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png种成双的情况，即23b9f7d7e7c1471b20dade3c5e7c2c86.png，则共计81ebe4829fd299e2403e71f94c9f97b2.png

6．D 99b52fb437bfce33b398e1dc190a0033.png，系数为aae89d5fba4e0e866fd5d290651eb1a0.png

7．A 3a3b8f9f9bac713ee6627cc76161df94.png，令23bd5b0a33bf8fd41a718f133cb186d3.png

则96ea190d1b9ab7a52a0c8e36b5da27b8.png，再令fef8f76fdee3f81c634ba6ca34cab1b2.png

8．D 3ad9181fd264456d6f142e22dd7a9aeb.png

二、填空题

1．9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png 每个人都有通过或不通过c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png种可能，共计有a87eb2cdee3e9b0f94f82748fab20351.png

2．072b030ba126b2f4b2374f342be9ed44.png 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即e6ec1577d0ab3da20d94cd6fe2f1d99d.png

3．37693cfc748049e45d87b8c7d8b9aacd.png 12fdcbe3e0a075d78a1e0d29820b4677.png，其中fb0ce7c2864d45cd277575f863f6af1c.png重复了一次

4．eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png 47501721d4555495cb219d96eacbcbb7.png

5．6b1f8f5a35eca78db5753cd2732b655d.png e8c00cfb5fea9f844fc64816514cb3e6.png的通项为2519cf2149b3808e908f8b37a32f27a1.png其中1a86a1a19eed0a94f5753c9fefd7418c.png的通项为

192442c71ec7601eb59d510ca60fd8de.png，所以通项为329054b0efd13806999f71ac8477c967.png，令cb3ec1cf4db0774966617d111a9babaa.png

得96bf8b6fe88d73d851f69fc2135c4b7b.png，当7c6270537cb2cf1c86fd46bbc6975dd3.png时，41da34f1321899ecca1a7f80deabd884.png，得常数为25ee29693edaa4f1a46d1f5dc566b128.png；当27f31ebb9d94ab3f0fa68afe9ef3eba7.png时，2a9c3418d603081ab478a025518f5c38.png，得常数为679771b78875879e924e2b926fa3031e.png；

当42bab0ff9ff3b461c2c66bc98009c005.png时，ca4f335f0e6e31d2b79665262d218148.png，得常数为768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png；53e6a4e047058a6a48bc6013d0280706.png

6．0ab922ba3e948387b4b2a85fcb83d194.png eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png件次品，或a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png件次品，df98fb7720c5a082d9efe6c6a98601da.png

7．9bf31c7ff062936a96d3c8bd1f8f2ff3.png 原式3618c37c5b7ed71badc2c92371a0394a.png，46a62d6c51476646225145719ef77918.png中含有bf0c8ff90b875a8678a9f61f6ef6105c.png的项是

259ab7202b40f93c1374bba8a7ae7585.png，所以展开式中的cd81d846781f418f883642fab802ae4a.png的系数是9bf31c7ff062936a96d3c8bd1f8f2ff3.png

8．65b9eea6e1cc6bb9f0cd2a47751a186f.png 直接法：分三类，在a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个偶数中分别选c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个，eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个，a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个偶数，其余选奇数，

9a2b6ac1d3a3fb6ff7afc9e6df5bfc22.png；间接法：f5a5109b0d99684aa536af58504809b2.png

三、解答题

1．解：9b20fdf8efdd80e7d6ea1a67ca1c612d.png中有元素26d1cd77dcddd645c8703f2774960c57.png

d393603c061960851f8dfee21d894dff.png。

2．解：（1）原式ca148b5895e5cfd79822d563cfeea4f4.png。

（2）原式82ac7290b509d32c25fb4527b25e4ea2.png。

另一方法： 070139a7e0b5409ca990f1c21e4bea00.png

ffcca70d643cef5fc215794e6e013b60.png

（3）原式f842a244b335555474700a924c519cb6.png

3．证明：左边9dac88833178a66f2fc4d37b1045e2d5.png

311be1b3d38a76585e1f9e7fd2ac8fb3.png右边

所以等式成立。

4．解：775bc7ab3bc98a2c44c791f28c2aa0cf.png，在dbc359279ac97712613ad862efb6dca5.png中，91414e361de9fc5c39084b9b1200df1e.png的系数f0b46ce58f37a1e9c93948ceed961be7.png

就是展开式中的常数项。

另一方法： bef0fd295c38d5b8294f43253ac0aa37.png，ebae5a124bcb8347ee9f3524f742a175.png

5．解：抛物线经过原点，得633bff1fa0b2fabb9e12f0f4285e42cb.png，

当顶点在第一象限时，4ca61fcb524dca5bf3078140d728604f.png，则有52e1c79016fa0e272a625303bf3b0fc9.png种；

当顶点在第三象限时，8530b800a9694685b040d10cc9ca97ac.png，则有471ab398047d99e621179ce12ff70c43.png种；

共计有61ef98dac5a905ceac560b3d0110da75.png种。

6．解：把a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个人先排，有43cb2da6987105587b14e3b8b8697694.png，且形成了e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png个缝隙位置，再把连续的eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个空位和c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个空位

当成两个不同的元素去排e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png个缝隙位置，有685fb4e91d2355ac467eea1c545f3ab1.png，所以共计有7604d8e2f5421430d4e9d83c37744cb6.png种。

数学选修2-3 第一章计数原理 [提高训练C组]

一、选择题

1．B b5998792c8584658ffb4237748694dde.png

2．D 男生c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png人，女生eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png人，有5ac991abe4ea6b7e618ee16bb5d05905.png；男生eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png人，女生c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png人，有eaf691972ffd5631ad9c453843aa74b3.png

共计14cf4412be3f0ed54e8b5b87074fae30.png

3．A 甲得c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png本有b8f7e828cf12d3dcc697fd5af7b5f085.png，乙从余下的a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png本中取c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png本有c06d6a676681ce50854c42e83eb5c708.png，余下的eb446ffb54d7add9963c0af1ded09ce4.png，共计5f26d3433fe1ff04e335f268e37271d5.png

4．B 含有d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png个元素的集合的全部子集数为da3d58e50e9c0462b73844df1f06f687.png，由eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个元素组成的子集数

为83b565ecf48836d571aad29c050aef48.png，b8714f7e9c497b041416a473670b2d75.png

5．A 9eba0764a5012b11e28f05ac17a7ff38.png

d59cfd0d546c803a189e20df93e12c42.png

6．D 分三种情况：（1）若仅55aab1086ec24e215327b12fb7f03314.png系数最大，则共有c51ce410c124a10e0db5e4b97fc2af39.png项，2ce58e06c8b6705a9b43b40f1d39c7ce.png；（2）若55aab1086ec24e215327b12fb7f03314.png与a3a0d7fb3c546096ce71627dae13b624.png系数相等且最大，则共有c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png项，9b5f8f5c9c22bbf04ee5e431b40749d6.png；（3）若55aab1086ec24e215327b12fb7f03314.png与13b4d73a97f937f37547a54fed8b62c1.png系数相等且最大，则共有aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png项，f9641e656a78e90db0f0bec55e646263.png，所以7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的值可能等于6a08e9e47c2a7c26054ead149db49f45.png

7．D 四个点分两类：（1）三个与一个，有9a31bda6e79bb6b5e534839eb8c2dfaa.png；（2）平均分二个与二个，有0d1b10721ef2745e9ab16a5920f656ea.png

共计有f0c76709de8d1a314b01d418b6aa45b9.png

8．D 复数d6857bfe262e82d9ea25fe775293b098.png为虚数，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png有d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png种可能，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png有45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.png种可能，共计8613985ec49eb8f757ae6439e879bb2a.png种可能

二、填空题

1．45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26.png 分三类：第一格填c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png，则第二格有492bc11d7654f23813e543a40f8fb725.png，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；

第一格填eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png，则第三格有492bc11d7654f23813e543a40f8fb725.png，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；

第一格填a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png，则第撕格有492bc11d7654f23813e543a40f8fb725.png，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；

共计有36ecaefb37ca166f8242c1e8dd375c00.png

2．9766527f2b5d3e95d4a733fcfb77bd7e.png d804310460b1e9679a3ec28f69c9d5df.png

3．59fd48d9f19ad3c3b1bcacd71ad15ae7.png 570f3094d1e4101e5fd2aee42ed7c589.png，50882c55c2d2dcfa76e504439ab5fb94.png；a4dd71b6f4dff3ca61a59f076c7391bd.png

4．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png 8e3a91634b7d947bc671cc032a2e712b.png，令21bb9e5d72a8d2d05fe959d6564e0c7a.png

9f43fdc228632d69381fda82b34ae2b2.png

5．c51ce410c124a10e0db5e4b97fc2af39.png 5300f69a0c449d4803ef02513785767b.png

633787a8cfbb9859a0b463feaa814091.png

6．33e75ff09dd601bbe69f351039152189.png f90e3c1f0820d4516fc53027c7c8845e.png

而e81cf49da81242709e8be66198d260c4.png，得8d0c5a8ab6c73504b95824af9b208d5b.png

7．cfa868c1747f86e3cf4b21a636cb30ff.png

bb5e3b1e170f953bd0bc0d6b9b7f8842.png

8．02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png 设401e7e34d92543e148e6bfd5ba2a1e93.png，令a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png，得c3fcb727e8849b4e655711a7e2395f41.png

令e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png，得0be02a1af0355ee44b88aeabd6cc61f8.png，c0736717897d89291085df524a8d1b30.png

三、解答题

1．解：1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png个人排有4c7a1c5fde92311461b6f240dc29b3e5.png种, 1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png人排好后包括两端共有8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个“间隔”可以插入空位.

(1)空位不相邻相当于将a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位安插在上述8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个“间隔”中,有27a4e66ec1f6b64d6f90c3ee52707813.png种插法，

故空位不相邻的坐法有f5f83a4d169687ab6e77693ef3088ebe.png种。

(2)将相邻的eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png个“间隔”里插

有fd33bc76d11fb0e76cb08ba6f2b29fa0.png种插法,故a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位中只有eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个相邻的坐法有8734e3f6e16fa1902574b91437fcbc05.png种。

(3) a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位至少有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻的情况有三类：

①a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位各不相邻有c6ed1179c626226d29a06d2e16c7c1d8.png种坐法;

②a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻，另有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个不相邻有59a7ce0dfc51d20049e8220a362fb27d.png种坐法;

③a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个空位分两组,每组都有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个相邻,有a7d0768f01c6d3fe016de6efb4cbc93a.png种坐法.

综合上述,应有32650839889adea29171bf8db98b0aa0.png种坐法。

2．解：分三类：若取c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个黑球，和另三个球，排a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个位置，有68f61329777dc272f4bd9ad8e5d6042a.png；

若取c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个黑球，从另三个球中选c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个排a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个位置，c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png个黑球是相同的，

自动进入，不需要排列，即有57a8e8428b6f805a44de569cb11b0f85.png；

若取eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个黑球，从另三个球中选c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png个排a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png个位置，eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png个黑球是相同的，

自动进入，不需要排列，即有a0647e24990c6789c2928c6372e70b77.png；

所以有ef65508c60a39f1fc0198bceda4e8c2e.png种。

3．解：0367198b8f83514672ff59e1888e9df5.png

257e8818b3de6470e6999e6b2520e43e.png

84a668a027af19ee858d12d87904a1fe.png

f9fcf5ed6b6912e0d6efc4bbd1ec4d5f.png

4．解：54eb28179c81b4ab0610e4474c968f86.png

d62adedcbde4c224c2f5b3ab9370fb98.png

0db3b95316615d90f308bd05bfd9611a.png，8b98eee55c34af8739515e113d6484f3.png

5．证明：b5ad8254aaeae6c2f8c527b3150abe87.png

cf4c23523d65fad949281978533551b9.png

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