数字信号系统实验
——快速傅里叶变化FFT
班级 ：电 信 硕41
学号： 2140508028
姓名： 周 翔 宇
快速傅里叶变换
一、实验目的
1. 在理论学习的基础上，通过本实验加深对快速傅立叶变换的理解；
2. 熟悉并掌握按时间抽取FFT算法的程序；
3. 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，例如混淆、泄漏、栅栏效应等，以便在实际中正确应用FFT。
二、实验内容
1. 仔细分析教材第六章‘时间抽取法FFT ’的算法结构，编制出相应的用FFT进行信号分析的MATLA程序
程序代码：
f=input('请输入输入信号频率f/Hz：'); %输入信号频率f%
N=input('请输入输入采样点数N：'); %输入采样点数N%
T=input('请输入输入采样间隔T/s：'); %输入采样间隔T%
%采样
for j=0:1:N-1
x(j+1)=sin(2*pi*f*j*T);
end
%补0
insert=input('请输入是否补0？0：否；1：是:');
if insert==1
ZERO=input('补零数：');
for j=N:1:N+ZERO-1
x(j+1)=0;
end
N=N+ZERO;
end
%码位倒置:M为fft运算的级数，在这里被用为表示数组中数据下表的二进制代码位数上限。
%用for循环来实现对数组中的每个数据进行处理。
%其中dec2bin（）函数将十进制代码转换为二进制代码，fliplr（）将二进制的矩阵进行左右对称的翻转，即实现了码位倒置.
M=log2(N);
for t=1:1:N
s=dec2bin(t-1,M);
s=fliplr(s);
s=bin2dec(s);
A(s+1)=x(t);
end
%按时间抽取的FFT蝶形运算
%对fft运算采用了三个for循环来实现。第一个循环实现fft每一级的运算
%第二个循环实现每一级运算中的分组
%第三个循环实现每一个组中的fft运算
for L=1:1:M
for J=0:1:(2^(L-1)-1)
for k=(J+1):2^L:N
T=A(k)+A(k+2^(L-1))*exp((-i*2*pi*J*2^(M-L))/N);
A(k+2^(L-1))=A(k)-A(k+2^(L-1))*exp((-i*2*pi*J*2^(M-L))/N);
A(k)=T;
end
end
end
%模值归一化:对采样点的幅值去绝对值，再用每一个绝对值除以其中的最大值，这样就可以得到归一化后的图形
x=abs(A);
y=max(x);
X=x/y;
%绘图
for j=1:1:N
stem(j-1,X(j));
hold on
end
axis([0 N 0 1]);
2. 用FFT程序计算有限长度正弦信号
分别在以下情况下所得的DFT结果并进行分析和讨论：
a) 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.000625s
周期正弦信号进行DFT变化会发生频域周期延拓，延拓周期即为采样频率，取其主值序列，则得到此信号的DFT变化的频域响应。信号频率50HZ，采样周期为0.000625S,则采样频率为1600HZ，时域采样频率为2*PI。因采样频率是信号频率的32倍，因此频谱在pi/16和-pi/16上会有冲激响应；所以时域采样后，频域以2*PI的周期进行延拓并取主值后。
因为此时满足奈奎斯特定律，能够恢复。所以最终会在Pi/16与31Pi/16出现两个冲激，其他则全为零。
b) 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s
同理此时采样频率等于200HZ，满足采样定律，能够恢复信号。因此时域在50pi/200=pi/4与-pi/4对应得频域频率上出现冲激，即8与-8；-8取主值后转向24。
c) 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.0046875s
采样周期为0.0046875s，所以采样频率为213.33Hz，不是整数，因为在数字域采样频率对应的是2*pi。所以可以知道sin函数在数字域里对应的是0.234*pi，和-0.234*pi，可见不是pi/16的整数倍，因此在主瓣Pi/16处不为0而是sinc函数的叠加，无法达到同步采样，因此会发生频谱泄露。
d) 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.004s
采样周期为0.004s，所以采样频率为250Hz，采样频率对应数字域的2*pi。所以sin函数的频谱在数字域对应的是2*pi/5和-2*pi/5，sinc函数与上述题目相同，主瓣为pi/16。因此在6.4处与25.6处有两个冲激。
e) 信号频率f＝50Hz，采样点数N=64,采样间隔T=0.000625s
信号的频率为50Hz，采样周期为0.000625s，所以采样频率为1600Hz，在数字域，采样频率对应的是2*pi。由于sin信号的频谱为在+1/16pi和-1/16pi上的冲激，所以时域采样后，在频域以2*pi为周期进行周期延拖。加窗后，卷积一个sinc函数，由于窗的长度为64，所以所以其主瓣的宽度为1/16pi，因为进行DFT有64个点，所以第k个点对应的频谱为（k-1）*pi/32。由上面的sinc函数的主瓣宽度知，除了pi/16和31*pi/16（由于频域的周期延拖），其他的点处，sinc函数都为0。
f) 信号频率f＝250Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s
信号频率f＝250Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s，采样频率为200Hz，采样频率对应数字频域的2*pi。所以sin函数的频谱在2.5*pi和-2.5*pi上有冲激。由于采样后产生周期性，在0.5*pi和1.5*pi处也有冲激。sinc函数的主瓣宽度还是pi/16，因为0.5*pi和1.5*pi均是1/16pi的整数倍，所以sinc函数在其余k*pi/16处均为0。所以最终DFT的频谱只在n=8和24有等值的冲激，别的点为0。
g) 将c）信号后补32个0，做64点FFT
增加点后等于将叠加的幅度减弱，频谱的泄露减弱。每个点上叠加的幅度减少，但是最高点不会变。
三、思考题
1）在实验a).b).c)和d)中，正弦信号的初始相位对频谱图中的幅度特性是否有影响？为什么？
由各个图象对比可以得出：正弦信号的初始相位对频谱图中的幅度特性没有影响，原因主要在于采样之后进行了周期延拓。
2）信号补零后做FFT是否可以提高信号频谱的分辨率？为什么？
不能，若采样频率为fs,FFT长度为N，则频谱分辨率为fs/N,设时间长度为DT，频谱分辨率＝1/DT，只要DT不变，频谱分辨率就不会变。数据后面补零可以克服栅栏效应。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/45ff7a8203d276a20029bd64783e0912a2167c9e.html
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