必修二 空间几何证明经典题型
一.解答题(共25小题)
1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(Ⅰ)BE∥平面PAD;(Ⅱ)PA⊥BC;(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.
【解答】解:(Ⅰ)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点,
故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD.
又AD⊂平面PAD,BE不在平面PAD内,故有BE∥平面PAD.
(Ⅲ)平行四边形ABED中,由AB⊥AD可得,ABED为矩形,故有BE⊥CD.
由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD.
再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF∥PD,
∴CD⊥EF.
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF.
由于CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.
2.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(Ⅰ)求证:VB∥平面 M OC;(Ⅱ)求证:平面MOC⊥平面VAB;
(Ⅲ)求三棱锥A﹣MOC的体积.
【解答】(Ⅰ)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB,
∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC;
(Ⅱ)证明:∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB,
又∵平面VAB⊥平面ABC,平面ABC∩平面VAB=AB,且OC⊂平面ABC,
∴OC⊥平面VAB,
∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB;
(Ⅲ)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,
∴等边三角形VAB的边长为2,S△VAB=,
∵O,M分别为AB,VA的中点.∴.
又∵OC⊥平面VAB,∴三棱锥.
3.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥PC,AB=PB,E,F分别是PA,AC的中点.求证:
(1)EF∥平面PBC;(2)平面BEF⊥平面PAB.
【解答】证明:(1)在△APC中,因为E、F分别是PA、AC的中点,
所以EF∥PC,…(3分)
又PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,所以EF∥平面PBC. …(6分)
(2)因为AB=PB,且点E是PA的中点,所以PA⊥BE,…(9分)
又PA⊥PC,EF∥PC,所以PA⊥EF,…(12分)
因为BE⊂平面BEF,EF⊂平面BEF,BE∩EF=E,
所以PA⊥平面BEF,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面BEF.…(14分)
4.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,
所以AB∥EF,
又因为EF⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;
(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,
因为BC⊥BD,FG∥BC,所以FG⊥BD,
又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,
又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,
故AD⊥AC.
5.已知四棱锥A﹣BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥面ABC;(Ⅱ)求证:平面ADE⊥平面ACD;(Ⅲ)求四棱锥A﹣BCDE的体积.
【解答】证明:(Ⅰ)取AC中点G,连接FG、BG,
∵F,G分别是AD,AC的中点 ∴FG∥CD,且FG=DC=1.
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG.
EF⊄面ABC,BG⊂面ABC ∴EF∥面ABC…(4分)
(Ⅱ)∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC,BG⊂面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC,
∴BG⊥面ADC. …(6分)
∵EF∥BG ∴EF⊥面ADC
∵EF⊂面ADE,∴面ADE⊥面ADC. …(8分)
解:(Ⅲ)
方法一:连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC.
.…(12分)
方法二:取BC的中点为O,连接AO,则AO⊥BC,又CD⊥平面ABC,
∴CD⊥AO,BC∩CD=C,∴AO⊥平面BCDE,
∴AO为VA﹣BCDE的高,,∴.
6.如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面ABCD,且∠ABC=.
(1)求证:BC∥平面AB1C1;(2)求证:平面A1ABB1⊥平面AB1C1.
【解答】证明:(1)∵BC∥B1C1,且B1C1⊂平面AB1C1,BC⊄平面AB1C1,
∴BC∥平面AB1C1.
(2)∵平面A1ABB1⊥平面ABCD,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
∴平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1,
∵平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,A1B1⊥C1B1,
∴C1B1⊂平面AB1C1,
∴平面A1ABB1⊥平面AB1C1.
7.如图,三角形ABC中,AC=BC=,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点.
(Ⅰ)求证:GF∥底面ABC;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EBC;
(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V.
【解答】解:(I)证法一:取BE的中点H,连接HF、GH,(如图)
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC,HF∥DE,(2分)
又∵ADEB为正方形∴DE∥AB,从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC,HG∥平面ABC,HF∩HG=H,
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC(5分)
证法二:取BC的中点M,AB的中点N连接GM、FN、MN
(如图)
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴(2分)
又∵ADEB为正方形∴BE∥AD,BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN,又MN⊂平面ABC,
∴GF∥平面ABC(5分)
证法三:连接AE,
∵ADEB为正方形,
∴AE∩BD=F,且F是AE中点,(2分)
∴GF∥AC,
又AC⊂平面ABC,
∴GF∥平面ABC(5分)
(Ⅱ)∵ADEB为正方形,∴EB⊥AB,∴GF∥平面ABC(5分)
又∵平面ABED⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC(7分)
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC,
∵BC∩BE=B,
∴AC⊥平面BCE(9分)
(Ⅲ)连接CN,因为AC=BC,∴CN⊥AB,(10分)
又平面ABED⊥平面ABC,CN⊂平面ABC,∴CN⊥平面ABED.(11分)
∵三角形ABC是等腰直角三角形,∴,(12分)
∵C﹣ABED是四棱锥,
∴VC﹣ABED==(14分)
8.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.
(1)求证:B1C1∥平面A1DE;(2)求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.
【解答】证明:(1)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,…(2分)
又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1C1∥BC,所以B1C1∥DE…(4分)
又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE…(6分)
(2)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,
又DE⊂底面ABC,所以CC1⊥DE…(8分)
又BC⊥AC,DE∥BC,所以DE⊥AC,…(10分)
又CC1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以DE⊥平面ACC1A1…(12分)
又DE⊂平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…(14分)
9.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,EF∥AB,EF=AB,平面BCF⊥平面ABCD,BF=CF,G为BC的中点,求证:
(1)OG∥平面ABFE;(2)AC⊥平面BDE.
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,
∴O是AC中点,
∵G为BC的中点,∴OG∥AB,
∵OG⊄平面ABFE,AB⊂平面ABFE,∴OG∥平面ABFE.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,
∴AC⊥BD,O是AC中点,
∵G为BC的中点,∵EF∥AB,EF=AB,平面BCF⊥平面ABCD,BF=CF,
∴FG⊥平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD,∴EO⊥AC,
∵EO∩BD=O,∴AC⊥平面BDE.
10.如图所示,四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB.点E是PC的中点.
(Ⅰ)求证:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)已知平面PCD⊥底面ABCD,且PC=DC.在棱PD上是否存在点F,使CF⊥PA?请说明理由.
【解答】(1)证明:取PD中点Q,连结AQ、EQ.…(1分)
∵E为PC的中点,∴EQ∥CD且EQ=CD.…(2分)
又∵AB∥CD且AB=CD,
∴EQ∥AB且EQ=AB.…(3分)
∴四边形ABED是平行四边形,
∴BE∥AQ.…(4分)
又∵BE⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,
∴BE∥平面PAD.…(5分)
(2)解:棱PD上存在点F为PD的中点,使CF⊥PA,
∵平面PCD⊥底面ABCD,平面PCD∩底面ABCD=CD,AD⊥CD,
∴AD⊥平面PCD,
∴DP是PA在平面PCD中的射影,
∴PC=DC,PF=DF,
∴CF⊥DP,∴CF⊥PA.
11.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E、F分别为PC、BD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:面PAB⊥平面PDC.
【解答】证明:(1)连接AC,由正方形性质可知,AC与BD相交于BD的中点F,F也为AC中点,E为PC中点.
所以在△CPA中,EF∥PA,
又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,
所以EF∥平面PAD;
(2)平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA
正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD
又,所以PA2+PD2=AD2
所以△PAD是等腰直角三角形,且,即PA⊥PD.
因为CD∩PD=D,且CD、PD⊂面PDC
所以PA⊥面PDC
又PA⊂面PAB,
所以面PAB⊥面PDC.
12.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=EC=.求证:
(1)AC1∥平面BDE; (2)A1E⊥平面BDE.
【解答】解:(1)ABCD﹣A1B1C1D1是长方体,AB=BC=EC=.
可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形,E为CC1的中点.
连接AC与DB交于O,连接OE,
可得:AC1∥OE,
OE⊂平面BDE.
∴AC1∥平面BDE.
(2)连接OA1,
根据三垂线定理,可得OA1⊥DB,OE⊥DB,OA1∩OE=O,
∴平面A1OE⊥DB.
可得A1E⊥DB.
∵E为CC1的中点.设AB=BC=EC=AA1=a
∴,A1E=,A1B=
∵A1B2=A1E2+BE2.∴A1E⊥EB.
∵EB⊂平面BDE.BD⊂平面BDE.EB∩BD=B,∴A1E⊥平面BDE
13.如图,ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直,交线为AC,若分别是PQ,CQ的中点.求证:
(1)CE∥平面PBD;
(2)平面FBD⊥平面PBD.
【解答】证明:(1)设AC∩BD=O,连接PO,则
∵O是AC的中点,E是PQ的中点,
∴PE=OC,PE∥OC,
∴四边形POCE是平行四边形,
∴CE∥PO,
∵CE⊄平面PBD,PO⊂平面PBD,
∴CE∥平面PBD;
(2)∵平面ACQP⊥平面ABCD,平面ACQP∩平面ABCD=AC,BD⊥AC,
∴BD⊥平面ACQP,
∵PO⊂平面ACQP,∴BD⊥PO,
连接AQ,OF,则由三角形相似可AQ⊥PO,
∵F是CQ中点,O是AC的中点,
∴OF∥AQ,
∴OF⊥PO,
∵BD∩OF=O,
∴PO⊥平面FBD,
∵PO⊂平面PBD,
∴平面FBD⊥平面PBD.
14.已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.
求证:
(Ⅰ)直线MF∥平面ABCD;
(Ⅱ)平面AFC1⊥平面ACC1A1.
【解答】(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.因为F是BB1的中点,
所以,F为C1N的中点,B为CN的中点.又M是线段AC1的中点,
故MF∥AN.又MF不在平面ABCD内,AN⊂平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.
(Ⅱ)连BD,由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ,
可知A1A⊥平面ABCD,又∵BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A=A,
AC,A1A⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,所以四边形DANB为平行四边形,
故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1,又因为NA⊂平面AFC1,
∴平面AFC1⊥ACC1A1.
15.如图,四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.
(1)求证:CD⊥AP;(2)若CD⊥PD,求证:CD∥平面PAB.
【解答】(本小题满分14分)
证明:(1)因为AD⊥平面PAB,AP⊂平面PAB,所以AD⊥AP.…(2分)
又因为AP⊥AB,AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
所以AP⊥平面ABCD.…(4分)
因为CD⊂平面ABCD,所以CD⊥AP.…(6分)
(2)因为CD⊥AP,CD⊥PD,且PD∩AP=P,PD⊂平面PAD,AP⊂平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.①…(8分)
因为AD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,所以AB⊥AD.
又因为AP⊥AB,AP∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以AB⊥平面PAD.②…(10分)
由①②得CD∥AB,…(12分)
因为CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB.…(14分)
16.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;(Ⅱ)求证:平面PEC⊥平面PCD.
【解答】证明:(Ⅰ)取PC的中点G,连结FG、EG,
∴FG为△CDP的中位线,FG∥CD,FG=CD.
∵四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,∴AE∥CD,AE=CD.
∴FG=AE,FG∥AE,∴四边形AEGF是平行四边形,
∴AF∥EG又EG⊂平面PCE,AF⊄平面PCE,
∴AF∥平面PCE;
(Ⅱ)∵PA=AD.∴AF⊥PD
PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
又因为CD⊥AB,AP∩AB=A,∴CD⊥面APD
∴CD⊥AF,且PD∩CD=D,∴AF⊥面PDC
由(Ⅰ)得EG∥AF,∴EG⊥面PDC
又EG⊂平面PCE,∴平面PEC⊥平面PCD.
17.如图,三棱柱ABC﹣A1B1Cl中,M,N分别为CC1,A1B1的中点.CA⊥CB1,CA=CB1,BA=BC=BB1.
(Ⅰ)求证:直线MN∥平面CAB1;(Ⅱ)求证:直线BA1⊥平面CAB1.
【解答】证明:(Ⅰ)设A1B与AB1交于点O,连接CO,ON.
因为四边形ABB1A1是平行四边形,所以是O是AB1的中点,又N是A1B1的中点,
所以.ON
又因为M是CC1的中点,所以.
所以四边形CMNO是平行四边形,所以MN∥CO.
又因为MN⊄平面CAB1,CO⊂CAB1平面,
所以直线NM∥平面CAB1.…(6分)
(Ⅱ)因为BA=BB1,所以平行四边形ABB1A1是菱形,所以BA1⊥AB1.
因为CA=CB1,O是AB1的中点,所以CO⊥AB1,
又CA⊥CB1,∴CO=AO.
又因为BA=BC,所以△BOC≌△BOA,
所以∠BOC=∠BOA,故BO⊥CO,即BA1⊥CO.
又AB1∩CO=O,AB1⊂平面CAB1,CO⊂平面CAB1,
所以直线BA1⊥平面CAB1.…(12分)
18.如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°,M是AB的中点,N是CE的中点.
(I)求证:EM⊥AD;
(II)求证:MN∥平面ADE;
(III)求点A到平面BCE的距离.
【解答】证明:(Ⅰ)∵EA=EB,M是AB的中点,∴EM⊥AB,(1分)
∵平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,EM⊂平面ABE,
∴EM⊥平面ABCD,(4分)
∵AD⊂平面ABCD,∴EM⊥AD.(5分)
(Ⅱ)取DE的中点F,连接AF,NF,
∵N是CE的中点.,∴NFCD,
∵M是AB的中点,∴AM,
∴NFAM,∴四边形AMNF是平行四边形,(7分)
∴MN∥AF,(8分)
∵MN⊄平面ADE,AF⊂平面ADE,
∴MN∥平面ADE.(10分)
解:(III)设点A到平面BCE的距离为d,
由(I)知ME⊥平面ABC,BC=BE=2,MC=ME=,
则CE=,BN==,(12分)
∴,
=,
∵VA﹣BCE=VE﹣ABC,(13分)即,
解得d=,故点A到平面BCE的距离为.(14分)
19.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2AD,BC⊥PD,E,F分别是PB,BC的中点.
求证:(1)PC∥平面DEF;
(2)平面PBC⊥平面PBD.
【解答】证明:(1)∵E,F分别是PB,BC的中点,
∴PC∥EF,
又PC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,
∴PC∥平面DEF.
(2)取CD的中点M,连结BM,
则ABDM,又AD⊥AB,AB=AD,
∴四边形ABMD是正方形,
∴BM⊥CD,BM=CM=DM=1,BD=,
∴BC=,
∴BD2+BC2=CD2,
∴BC⊥BD,又BC⊥PD,BD∩PD=D,
∴BC⊥平面PBD,
又BC⊂平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PBD.
20.如图,菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,且平面ABCD⊥平面BCE,FD⊥平面ABCD,.
(I)求证:EF∥平面ABCD;
(II)求证:平面ACF⊥平面BDF.
【解答】证明:(Ⅰ)如图,过点E作EH⊥BC于H,连接HD,∴.
∵平面ABCD⊥平面BCE,EH⊂平面BCE,
平面ABCD∩平面BCE=BC,
∴EH⊥平面ABCD,
又∵FD⊥平面ABCD,,
∴FD∥EH,FD=EH.
∴四边形EHDF为平行四边形.
∴EF∥HD.
∵EF⊄平面ABCD,HD⊂平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD. …(7分)
(Ⅱ)∵FD⊥面ABCD,∴FD⊥AC,
又四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
又FD∩BD=D,∴AC⊥面FBD,
又AC⊂面ACF,从而面ACF⊥面BDF.…(12分)
21.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,A1B与AB1交于点D,A1C与AC1交于点E.
求证:(1)DE∥平面B1BCC1;
(2)平面A1BC⊥平面A1ACC1.
【解答】证明:(1)由题意,D,E分别为A1B,A1C的中点,
∴DE∥BC,
∵DE⊄平面B1BCC1,BC⊂平面B1BCC1,
∴DE∥平面B1BCC1;
(2)∵AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴AA1⊥BC,
∵AC⊥BC,AC∩AA1=A,
∴BC⊥平面A1ACC1,
∵BC⊂平面A1BC,
∴平面A1BC⊥平面A1ACC1.
22.如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.
(1)求证:BF∥平面ADP
(2)已知O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF.
【解答】证明:(1)作FM⊥CD,垂足为M,连接BM,则DM=2PE=AB,EM∥PD
∵DM∥AB,
∴DMBA是平行四边形,
∴BM∥AD,
∵BM⊄平面ADP,AD⊂平面ADP
∴BM∥平面ADP
同理EM∥平面ADP
∵BM∩EM=M.
∴平面BFM∥平面ADP
∵BF⊂平面BFM,
∴BF∥平面ADP;
(2)由(1)可知FM=PE,DM=BM=2PE,∴FD=FB=PE,
∵O是BD的中点,∴FO⊥BD,
∵AD=AB,O是BD的中点,∴AO⊥BD,
∵AO∩FO=O,
∴BD⊥平面AOF.
23.如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,EF∥CD,CD⊥EA,CD=2EF=2,ED=.M为棱FC上一点,平面ADM与棱FB交于点N.
(Ⅰ)求证:ED⊥CD;
(Ⅱ)求证:AD∥MN;
(Ⅲ)若AD⊥ED,试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直?若能,求出的值;若不能,说明理由.
【解答】(Ⅰ)证明:因为ABCD为矩形,所以VD⊥AD.[(1分)]
又因为CD⊥EA,[(2分)]
所以CD⊥平面EAD.[(3分)]
所以ED⊥CD.[(4分)]
(Ⅱ)证明:因为ABCD为矩形,所以AD∥BC,[(5分)]
所以AD∥平面FBC.[(7分)]
又因为平面ADMN∩平面FBC=MN,
所以AD∥MN.[(8分)]
(Ⅲ)解:平面ADMN与平面BCF可以垂直.证明如下:[(9分)]
连接DF.因为AD⊥ED,AD⊥CD.ED∩CD=D,
所以AD⊥平面CDEF.[(10分)]
所以AD⊥DM.
因为AD∥MN,所以DM⊥MN.[(11分)]
因为平面ADMN∩平面FBC=MN,
若使平面ADMN⊥平面BCF,
则DM⊥平面BCF,所以DM⊥FC.[(12分)]
在梯形CDEF中,因为EF∥CD,DE⊥CD,CD=2EF=2,ED=,
所以DF=DC=2.
所以若使DM⊥FC能成立,则M为FC的中点.
所以=.[(14分)]
24.如图,在三棱锥A﹣BCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD∥平面AEF.
(1)求证:EF∥平ABD面;
(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证:平面AEF⊥平面ACD.
【解答】证明:(1)∵BD∥平面AEF,BD⊂平面BCD,平面BCD∩平面AEF=EF,
∴BD∥EF,又BD⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,
∴EF∥平ABD面.
(2)∵AE⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,
∴AE⊥CD,
由(1)可知BD∥EF,又BD⊥CD,
∴EF⊥CD,
又AE∩EF=E,AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,
∴CD⊥平面AEF,又CD⊂平面ACD,
∴平面AEF⊥平面ACD.
25.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且平面PAC⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=PC,AB=2BC=2,∠ABC=60°.
(Ⅰ)求证:PB∥平面ACE;
(Ⅱ)求证:平面PBC⊥平面PAC.
【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,交AC于点O,连接OE,
∵底面ABCD是平行四边形,∴O为BD中点,
又E为PD中点,∴OE∥PB,
又OE⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,
∴PB∥平面ACE.
(Ⅱ)∵PA=PC,O为AC中点,∴PO⊥AC,
又平面PAC⊥平面ABCD,
平面PAC∩平面ABCD=AC,PO⊂平面PAC,
∴PO⊥平面ABCD,
又BC⊂平面ABCD,
∴PO⊥BC.
在△ABC中,AB=2BC=2,∠ABC=60°,
∴=,
∴AC2=AB2+BC2,∴BC⊥AC.
又PO⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,PO∩AC=O,∴BC⊥平面PAC,
又BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC.
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