初中数学竟赛辅导资料 基本对称式

初中数学竞赛辅导资料

基本对称式

甲内容提要

1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质.　形如x+y和xy是两个变量x,　y的基本对称式.

2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.

例如x2+y2,　 x3+y3, 　(2x－5)(2y－5), 　－，　……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：

x2+y2＝（x+y）2－2xy，　 　　　　x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，

(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25,　　　－=－, ==.

3. 设x+y=m, xy=n.

则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；

x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn；

x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；

x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2；

………

一般地，xn+yn　(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：

xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)－xy(xk－1+yk－1)　(k 为正整数).

4. 含x,　y的对称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.

乙例题

例1. 已知x=(+1), y= 求下列代数式的值：

　①x3+x2y+xy2+y3 ； ②x2 (2y+3)+y2(2x+3).

解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.

　　∴先求出　x+y=, 　xy=.

①　x3+x2y+xy2+y3 ＝（x+y）3－2xy(x+y)

=()3－2×

=2；

　　　　　　　②　x2 (2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2

=3(x2+y2)+2xy(x+y)

=3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)

=3［（）2×

＝－6.

例2. 解方程组

分析：可由　x3+y3, x+y 求出xy，再由基本对称式，求两个变量x和y.

解：∵x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y) ③

把①和②代入③，得

35＝53－15xy.

∴xy=6.

解方程组　　

得　　或.

例3. 化简　＋.

解：设＝x, 　　=y.

　　　　那么　x3+y3=40, 　xy==2.

　　　　　　∵x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，

　　　　　　∴　40＝（x+y）3－6（x＋y）.

设x+y=u,

得　u3－6u－40=0 . (u－4)(u2+4u+10)=0.

　　　　　∵u2+4u+10=0 没有实数根，

　　　　　　∴u－4＝0,　 u＝4 .

　∴x+y=4.

即　＋＝4.

例4. a取什么值时，方程x2－ax+a－2=0　的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？

解：设方程两根为x1,　x2 .　 根据韦达定理，

　得　

∵＝＝

＝，

∴当a=2时，　有最小值是2.

丙练习50

1.　已知 x－y=a, 　xy=b.　则x2+y2=______ ； 　x3－y3=______.

2.　若x+y=1, x2+y2=2.　　则　x3+y3=_______；　　x5+y5=______.

3.　如果　x+y=－2k, xy=4, . 　则　k=_____.

4. 已知x+=4, 　 那么x－=____　， 　　=＿＿＿.

5. 若.＝a,　那么x+=______,　　=＿＿＿.

6. 已知：a=, 　b=.

求：　①7a2+11ab+7b2 ； 　②a3+b3－a2－b2－3ab+1.

7. 已知＝8，则＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）

8. 已知　a2+a－1=0 则a3－=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛)

9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.　　　　　　（1990年泉州市初二数学双基赛）

10. 化简：　①；　　　②.

11. 已知：α，β是方程ax2+bx+c=0(a≠0)　的两个根.

求证：α2（bβ+c）+β2(bα+c)=－.

练习50

1.　 a2+2b, a3+3ab 　　 　2. 2.5, 4.75 　　　3. 　±

4.　2或－2，　14，　52　　 　　　　　　　5.　a2－2, a4－4a2+2

6. 　109,36 　　　　　　　 7. 62 　　　　　　 8. –4

9. x2 ±3x＋2＝0　　　　　　　10.　①1，　②2

运用韦达定理，把左边式子化为基本对称式表示

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3b03bc17a0c7aa00b52acfc789eb172dec639904.html