初中数学竞赛辅导资料
待定系数法
甲内容提要
1. 多项式恒等的定义:设f(x) 和g(x)是含相同变量x的两个多项式,f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ,不论用什么实数值代入左右的两边,等式总是成立的.
符号“≡”读作“恒等于”,也可以用等号表示恒等式. 例如:
(x+3)2=x2+6x+9, 5x2-6x+1=(5x-1)(x-1),
x3-39x-70=(x+2)(x+5)(x-7).
都是恒等式.
根据恒等式定义,可求恒等式中的待定系数的值. 例如:
已知:恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x-2).
求:①a+b+c ; ②a-b+c.
解:①以x=1, 代入等式的左右两边,得a+b+c=-4.
②以x=-1,代入等式的左右两边,得a-b+c=0.
2. 恒等式的性质:如果两个多项式恒等,则左右两边同类项的系数相等.
即 如果 a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an= b0xn+b1xn-1+……+bn-1x+bn
那么 a0=b0 , a1=b1, …… , an-1=bn-1 , an=bn.
上例中又解: ∵ax2+bx+c=2x2-2x-4.
∴a=2, b=-2, c=-4.
∴a+b+c=-4, a-b+c=0.
3. 待定系数法:就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式,然后根据恒等式定义和性质,确定待定系数的值.
乙例题
例1. 已知:
求:A,B,C的值.
解:去分母,得
x2-x+2=A(x-3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-3).
根据恒等式定义(选择x的适当值,可直接求出A,B,C的值),
当x=0时, 2=-6A. ∴A=-
当x=3时, 8=15B. ∴B=
当x=-2时, 8=10C. ∴C=
本题也可以把等号右边的代数式,整理成为关于x的二次三项式,然后用恒等式性质:“左右两边同类项的系数相等”,列出方程组来解.(见下例).
例2. 把多项式x3-x2+2x+2表示为关于x-1的降幂排列形式.
解:用待定系数法:
设x3-x2+2x+2=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d
把右边展开,合并同类项(把同类项对齐),
得 x3-x2+2x+2=ax3-3ax2+3ax-a
+bx2-2bx+b
+cx-c
+d
用恒等式的性质,比较同类项系数,
得
∴x3-x2+2x+2=(x-1)3+2(x-1)2+3(x-1)+4.
本题也可用换元法:
设x-1=y, 那么x=y+1.
把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式,最后再把y换成x -1.
例3. 已知:4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.
求: a和b的值.
解:设4x4+ax3+13x2+bx+1=(2x2+mx±1)2 (设待定的系数,要尽可能少.)
右边展开,合并同类项,得
4x4+ax3+13x2+bx+1=4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.
比较左右两边同类项系数,得
方程组
解得
例4. 推导一元三次方程根与系数的关系.
解:设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1, x2, x3.
原方程化为x3+
∵x1, x2, x3是方程的三个根.
∴x3+
把右边展开,合并同类项,得
x3+
比较左右同类项的系数,得
一元三次方程根与系数的关系是:
x1+x2+x3=-
例5. 已知:x3+px+q 能被(x-a)2 整除.
求证:4p3+27q2=0.
证明:设x3+px+q=(x-a)2(x+b).
x3+px+q=x3+(b-2a)x2+(a2-2ab)x+a2b.
由①得b=2a, 代入②和③得
∴4p3+27q2=4(-3a2)3+27(2a3)2
=4×(-27a6)+27×(4a6)=0. (证毕).
例6. 已知:f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2+25的因式,也是q (x)=3x4+4x2+28x+5
的因式.
求:f (1)的值.
解:∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.
为了消去四次项,设g (x)-q (x)=kf (x), (k为正整数).
即14x2-28x+70=k (x2+bx+c)
14(x2-2x+5)=k (x2+bx+c)
∴k=14, b=-2, c=5.
即f (x)=x2-2x+5.
∴f (1)=4 .
例7. 用待定系数法,求(x+y)5 的展开式
解:∵展开式是五次齐次对称式,
∴可设(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a, b, c是待定系数.)
当 x=1,y=0时, 得a=1;
当 x=1,y=1时, 得2a+2b+2c=32,即a+b+c=16
当 x=-1,y=2时, 得31a-14b+4c=1.
得方程组
解方程组,得
∴(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
丙练习51
1. 已知
2. 已知:
3. 已知: x4—6x3+13x2-12x+4是完全平方式.
求:这个代数式的算术平方根.
4. 已知:ax3+bx2+cx+d 能被x2+p整除.
求证:ad=bc.
5. 已知:x3-9x2+25x+13=a(x+1)(x-2)(x-3)
=b(x-1)(x-2)(x-3)
=c(x-1)(x+1)(x-3)
=d(x-1)(x+1)(x-2).
求:a+b+c+d的值.
6. 试用待定系数法,证明一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理).
7. 用x-2的各次幂表示3x3-10x2+13.
8. k取什么值时,kx2-2xy-y2+3x-5y+2能分解为两个一次因式..
9. 分解因式:①x2+3xy+2y24x+5y+3;
②x4+1987x2+1986x+1987.
10. 求下列展开式:
① (x+y)6; ② (a+b+c)3.
11. 多项式x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是( )
(A) (x+y)(y-z)(x-z) . (B) (x+y)(y+z)(x-z).
(C) (x-y)(y-z)(x+z). (D) (x-y)(y+z)(x+z).
12. 已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, 若S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3.
则S等于( )
(A) (x-2)4 . (B) (x-1)4 . (C) x4 . (D) (x+1)4.
(1988年泉州市初二数学双基赛题)
13. 已知:
练习51
1. a=-
4.由 (x2+p)(ax+
8. 先整理为关于x的二次三项式,并把常数项分解因式,再用待定系数法。
9. ①(x+y +1)(x+2y+3) ②(x2+x+1)(x2-x+1987)
10. ①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.
②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.
11. (A) 12.(C) 13. a=1, b=1.5, c=-2.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/1f621c0e185f312b3169a45177232f60dccce706.html
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