2020-2021高中必修一数学上期末一模试题附答案(2)

2020-2021高中必修一数学上期末一模试题附答案(2)

一、选择题

1．已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值 (　　)

A．一定大于0 B．一定小于0

C．等于0 D．正负都有可能

2．已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ）

A． B． C． D．

3．已知函数关于x的方程，有四个不同的实数解,则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

4．已知函数；则的图像大致为（ ）

A． B． C． D．

5．已知函数，若，，，则，，的大小关系是（ ）

A． B． C． D．

6．若函数，则（ ）

A． B．e C． D．

7．已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

8．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

9．函数是周期为4的偶函数,当时，,则不等式在上的解集是 ( )

A． B． C． D．

10．设函数，则满足的x的取值范围是　　

A． B． C． D．

11．已知=,若,则等于

A．5 B．7 C．9 D．11

12．若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为( )

A． B． C． D．

二、填空题

13．如果函数是幂函数，且图像不经过原点，则实数___________.

14．是上的奇函数且满足，若时，，则在上的解析式是______________．

15．已知为奇函数，且在上是减函数，若不等式在上都成立，则实数的取值范围是___________.

16．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.

17．对于函数，若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数在定义域D上封闭，如果函数在R上封闭，则____．

18．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为__________．

19．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，则的解集是________．

20．已知正实数满足，则的值为_____________.

三、解答题

21．已知函数，其中为实数.

（1）若，求证：函数在上为减函数；

（2）若为奇函数，求实数的值.

22．已知函数是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）用定义法证明函数在上是减函数；

（3）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

23．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：

（1）有下列函数模型：①；②；③.试从以上函数模型中，选择模型________（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；

（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：）

24．已知函数(，，)，在同一个周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值.

(1)求函数的解析式，并求在[0，]上的单调递增区间.

(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象，方程在有2个不同的实数解，求实数a的取值范围.

25．已知函数为在上的奇函数,且.

(1)用定义证明在的单调性;

(2)解不等式.

26．已知函数.

（1）若在轴正半轴上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

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一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

因为f(x) 在R上的单调增,所以由x2＋x1>0，得x2>-x1,所以

同理得

即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0,选A.

点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行

2．C

解析：C

【解析】

【分析】

利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小．

【详解】

，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．B

解析：B

【解析】

【分析】

由题意作函数与的图象，从而可得，，，从而得解

【详解】

解：因为，可作函数图象如下所示：

依题意关于x的方程，有四个不同的实数解,即函数与的图象有四个不同的交点，由图可知令，

则，，即，所以，则，

所以，

因为，在上单调递增，所以，即

故选：B

【点睛】

本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题

4．B

解析：B

【解析】

试题分析：设，则，∴在上为增函数,在上为减函数，∴，，得或均有排除选项A，C，又中,，得且，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.

考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.

5．D

解析：D

【解析】

【分析】

可以得出，从而得出c＜a，同样的方法得出a＜b，从而得出a，b，c的大小关系．

【详解】

, ,根据对数函数的单调性得到a>c,

,又因为，，再由对数函数的单调性得到a∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．

故选D．

【点睛】

考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.

6．A

解析：A

【解析】

【分析】

直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可.

【详解】

因为函数，

因为，所以，

又因为，

所以，

即，故选A.

【点睛】

该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.

7．D

解析：D

【解析】

试题分析：求函数f（x）定义域，及f（﹣x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f′（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinθ＞m﹣1，也就是对任意的都有sinθ＞m﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m的取值范围．

详解：

f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x）；

f′（x）=ex+e﹣x＞0；

∴f（x）在R上单调递增；

由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；

∴sinθ＞m﹣1；

即对任意θ∈都有m﹣1＜sinθ成立；

∵0＜sinθ≤1；

∴m﹣1≤0；

∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．

故选：D．

点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.

8．B

解析：B

【解析】

【分析】

当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，所以不等式的解集为．

【详解】

当时，，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，

因为是定义在上的奇函数，所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．

9．C

解析：C

【解析】

若，则此时是偶函数， 即 若 ，则 ∵函数的周期是4，

即 ，作出函数在 上图象如图，

若，则不等式 等价为 ，此时

若 ，则不等式等价为 ，此时 ，

综上不等式 在 上的解集为

故选C.

【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

10．D

解析：D

【解析】

【分析】

分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．

【详解】

当时，的可变形为，，．

当时，的可变形为，，故答案为．

故选D．

【点睛】

本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．

11．B

解析：B

【解析】

因为=,所以=,则===.

选B.

12．C

解析：C

【解析】

【分析】

【详解】

对于一切成立，

则等价为a⩾对于一切x∈(0,)成立，

即a⩾−x−对于一切x∈(0,)成立，

设y=−x−,则函数在区间(0,〕上是增函数

∴−x−<−−2=，

∴a⩾.

故选C.

点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;

（3）若恒成立，可转化为.

二、填空题

13．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故

解析：3

【解析】

【分析】

根据幂函数的概念列式解得,或,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合.

【详解】

因为函数是幂函数,

所以,即,

所以,

所以或,

当时,,其图象不过原点,符合题意;

当时,,其图象经过原点,不合题意.

综上所述:.

故答案为:3

【点睛】

本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.

14．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题

解析：

【解析】

【分析】

首先根据题意得到，再设，代入解析式即可.

【详解】

因为是上的奇函数且满足，

所以，即.

设，所以.

，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.

15．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题

解析：

【解析】

【分析】

根据为奇函数，且在上是减函数，可知，即，令，根据函数在上单调递增，求解的取值范围，即可.

【详解】

为奇函数，且在上是减函数

在上是减函数.

∴，即.

令，则在上单调递增.

若使得不等式在上都成立.

则需.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.

16．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函

解析：

【解析】

【分析】

先利用已知求出的值，再求点D的坐标.

【详解】

由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.

因为点在函数的图像上，所以，.

因为点在函数的图像上，所以.

又因为，，

所以点的坐标为.

故答案为

【点睛】

本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

17．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R上为减函数并且由题意可知：由于函数在R上封闭故有解得：所以

解析：6

【解析】

【分析】

利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，结合题设条件，列出方程组，求解即可.

【详解】

，则函数在R上为奇函数

设，

，即

结合奇函数的性质得函数在R上为减函数，并且

由题意可知：

由于函数在R上封闭，故有 ，解得：

所以

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.

18．【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段

解析：

【解析】

若对任意的实数都有成立，

则函数在上为减函数，

∵函数，

故，

计算得出：．

点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.

19．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合

解析：

【解析】

【分析】

由题意先确定函数在上是增函数，再将不等式转化为即可求得的取值范围.

【详解】

函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，

函数在区间上是增函数

或

解集为

故答案为：

【点睛】

本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.

20．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题

解析：

【解析】

【分析】

将已知等式，两边同取以为底的对数，求出，利用换底公式，即可求解.

【详解】

，，

，

.

故答案为:.

【点睛】

本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.

三、解答题

21．（1）证明见解析（2）或

【解析】

【分析】

（1）对于，，且，计算得到证明.

（2）根据奇函数得到，代入化简得到，计算得到答案.

【详解】

（1）当时，，

对于，，且，

因为，所以，所以，

又因，，且，所以，

即，所以，.

所以函数在上为减函数.

（2），

若为奇函数，则，即.

所以

，

所以，所以，或.

【点睛】

本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

22．(1) ;(2)证明见解析；(3)

【解析】

【分析】

（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；

（2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；

（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得k的范围.

【详解】

解：(1)由函数是奇函数，可得：，

即：，；

（2）由(1)得：，任取,且，

则，

，，即：，

，即在上是减函数；

（3）是奇函数，不等式恒成立等价为

恒成立，

在上是减函数，,恒成立，

设，可得当时，恒成立，

可得，解得，

故的取值范围为：.

【点睛】

本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题.

23．（1）①，；（2）2022年

【解析】

【分析】

（1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型①，再结合题设数据求解即可；

（2）由题意有，再两边同时取对数求解即可.

【详解】

解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合，

设，将，和，代入得

；解得.

故函数模型解析式为：.

经检验，和也符合.

综上：；

（2）令，解得，两边同时取对数得：

，，

，

.

综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨.

【点睛】

本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题.

24．(1)，单调增区间为，；(2)

【解析】

【分析】

（1）由最大值和最小值求得，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得，再由函数值（最大或最小值均可）求得，得解析式；

（2）由图象变换得的解析式，确定在上的单调性，而有两个解，即的图象与直线有两个不同交点，由此可得．

【详解】

(1)由题意知

解得，.

又，可得.

由，

解得.

所以，

由，

解得，.

又，所以的单调增区间为，.

(2)函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象，得到函数的表达式为.

因为，所以，

在是递增，在上递减，

要使得在上有2个不同的实数解，

即的图像与有两个不同的交点，

所以.

【点睛】

本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．

25．(1)证明见解析;(2).

【解析】

【分析】

（1）根据函数为定义在上的奇函数得，结合求得的解析式，再利用单调性的定义进行证明；

（2）因为,,由(1)可得，解指数不等式即可得答案.

【详解】

(1)因为函数为在上的奇函数,所以

则有

解得,即

,且

因为,且,

所以,,

所以即 ,

所以在上单调递减 .

(2)因为,,由(1)可得

不等式可化为,即(

解得,即

所以不等式的解集为

【点睛】

本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式.

26．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）首先，保证有两个不等实根，又，两根同号，因此只要两根的和也大于0，则满足题意；

（2）当时，恒成立，转化为在上恒成立即可 ,只要求得在上的最小值即可．

【详解】

（1）由题知有两个不等正根，则，∴；

（2）恒成立即恒成立，

又，故在上恒成立即可 ,

又在上的值域为 ,

故.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的分布，考查不等式恒成立问题．一元二次方程根的分布可结合二次函数图象得出其条件，不等式恒成立可采用分离参数法，把问题转化为求函数的最值．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/17a38cb53386bceb19e8b8f67c1cfad6195fe998.html