初中数学竞赛辅导资料
换元法
甲内容提要
1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
2. 换元的目的是化繁为简,化难为易,沟通已知和未知的联系.
例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.
3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围扩大了,则在求解之后要加以检验.
4. 解二元对称方程组,常用二元基本对称式代换.
5. 倒数方程的特点是:按未知数降幂排列后,与首、末等距离的项的系数相等.
例如:一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.
两边都除以x2,得a(x2+
设x+
原方程可化为ay2+by+c-2=0.
对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0, 必有一个根是-1.
原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.
ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ,这是四次倒数方程.
形如 ax4-bx3+cx2+bx+a=0 的方程,其特点是:
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等,奇数次幂的系数是互为相反数.
两边都除以x2, 可化为a(x2+
设x-
原方程可化为 ay2-by+c+2=0.
乙例题
例1. 解方程
解:设
原方程化为: y-
解得 y=0;或y=2.
当y=0时,
当y=2时,
解得,x=
例2. 解方程:x4+(x-4)4=626.
解:(用平均值
设 y= x-2 ,则x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y-2)4=626.
[((y+2)2-(y-2)2)2+2(y+2)2(y-2)2-626=0
整理,得 y4+24y2-297=0. (这是关于y的双二次方程).
(y2+33)(y2-9)=0.
当y2+33=0时, 无实根 ;
当y2-9=0时, y=±3.
即x-2=±3,
∴x=5;或x=-1.
例3. 解方程:2x4+3x3-16x2+3x+2=0 .
解:∵这是个倒数方程,且知x≠0,
两边除以x2,并整理 得2(x2+
设x+
原方程化为 2y2+3y-20=0.
解得 y=-4;或y=
由y=-4得 x=-2+
由y=2.5得 x=2;或x=
例4 解方程组
解:(这个方程组的两个方程都是二元对称方程,可用基本对称式代换.)
设x+y=u, xy=v. 原方程组化为:
即
解得:
丙练习52
解下列方程和方程组:(1到15题):
1.
2. (16x2-9)2+(16x2-9)(9x2-16)+(9x2-16)2=(25x2-25)2.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 . 4. (2x2-x-6)4+(2x2-x-8)4=16.
5. (2
6.
8.
10.
11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.
12.
14.
16. 分解因式: ①(x+y-2xy)(x+y-2)+(1-xy)2; ②a4+b4+(a+b)4 .
17. 已知:a+2=b-2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989.
则a=___,b= ____,c=_____,d=____ (1989年泉州市初二数学双基赛题)
18. [a]表示不大于a的最大整数,如[
那么 方程 [3x+1]=2x-
练习52
1.
6. 1 7.
9.
10. 7,-1 11.-
14.
16.①设x+y=a,xy=b ②设a2+b2=x,ab=y
17.设原式=k, k=442 18. –2可设2x-
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