上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编7：立体几何

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编7：立体几何

姓名____________班级___________学号____________分数______________

一、选择题

．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、,则:=

. 1:1. . 2:1. . 3:2. . 4:1.

．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）正方体的棱上到异面直线,的距离相等的点的个数为

2. 3. 4. 5.

．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)关于直线,及平面α,β,下列命题中正确的是 （　　）

A．若则 B．若则

C．若则 D．若,则

二、填空题

．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为__________(结果保留).

．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知圆锥底面半径与球的半径都是,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的母线长为_____________.

．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）设为空间直角坐标系内一点,点在平面上的射影的极坐标为(极坐标系以为极点,以轴为极轴),则我们称三元数组为点的柱面坐标.已知点的柱面坐标为,则直线与平面所成的角为____.

．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）半径为的球的内接圆柱的最大侧面积为_____.

．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）如图:已知各顶点都在半球面上的正三棱锥S—ABC,若AB=,则该三棱锥的体积为__.

．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）已知是球面上三点,且,若球心到平面的距离为,则该球的表面积为__________.

．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）将边长为2的正方形沿对角线折起,以,,,为顶点的三棱锥的体积最大值等于_____________.

．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为,容器的高为10cm,制作该容器需要_______ cm2的铁皮

．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)设函数,则将的曲线绕轴旋转一周所得

几何体的体积为____________.

．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）如图为一几何体的的展开图,其中ABCD是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q及P,D,C,R共线,沿图中虚线将它们折叠,使P,Q,R,S四点重合,则需要________个这样的几何体,就可以拼成一个棱长为12的正方体.

．（2013年上海市高三七校联考（理））如图所示,四棱锥中,底面是边长为的菱形,棱,.有下列命题:

①若是的中点,则平面;②若,则;

③若是正三角形,则平面;

④若, ,则四棱锥的体积为.

其中正确的命题是__________.

．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）一个圆锥的底面积为,且该圆锥的母线与底面所成的角为,则该圆锥的侧面积为_______________.

三、解答题

．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）本题共有2个小题,第1小题满分6分,

第2小题满分8分.

如图,已知是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是,为侧棱的中点.

(1)求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示);

(2)求直线到平面的距离.

．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.

在棱长为的正方体中,分别为的中点.

(1)求直线与平面所成角的大小;

(2)求二面角的大小.

．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分16分,第1小题满分8分,第2小题满分8分

和平面解析几何的观点相同,在空间中,空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹.在空间直角坐标系中,空间曲面的方程是一个三元方程.

设、为空间中的两个定点,,我们将曲面定义为满足的动点的轨迹.

(1)试建立一个适当的空间直角坐标系,求曲面的方程;

(2)指出和证明曲面的对称性,并画出曲面的直观图.

．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分

某粮仓是如图所示的多面体,多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面是矩形,米,米,腰梁、、、分别与相交的底梁所成角均为.

(1)请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”,并说明理由;

(2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可储存多少立方米粮食?

．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分.

已知是底面边长为1的正四棱柱,高

求(1)异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

(2)求的距离及直线所成的角.

．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）本大题共有2小题,第1小题6分,第2小题8分.

如图,正方体的棱长为

(1)求直线与平面所成角的大小;(2)求四棱锥的体积.

．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.

已知正四棱柱的底面边长为2,.

(1)求该四棱柱的侧面积与体积;

(2)若为线段的中点,求与平面所成角的大小.

．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）如图,平面,矩形的边长,,为的中点.

(1)证明:;

(2)如果,求异面直线与所成的角的大小.

．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）长方体中,底面是正方形,,是上的一点.

⑴求异面直线与所成的角;

⑵若平面,求三棱锥的体积;

．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)

如图:已知平面,,与平面所成的角为,且.

(1)求与平面所成角的大小;(2)求点到平面的距离.

．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）(本题满分12分;第(1)小题6分,第(2)小题6分)

如图,已知点在圆柱的底面圆上,为圆的直径,,,三棱锥的体积为.

(1)求圆柱的表面积;

(2)求异面直线与所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

．（2013届浦东二模卷理科题）本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.

如图,已知正四棱柱的底面边长是,体积是,分别是棱、的中点.

(1)求直线与平面所成的角(结果用反三角函数表示);

(2)求过的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积.

．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分.

如图,在直三棱柱中, , , ,点分别在棱上,且.

(1)求四棱锥的体积;

(2)求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值.

解:

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编7：立体几何参考答案

一、选择题

C

;

B

二、填空题

等

;

;

.

24

①②④

;

三、解答题

本题共有2题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.

解:(1)方法一:

以中点为坐标原点,如图建立空间直角坐标系

由题意得

则

设为向量的夹角,则

异面直线与所成角的大小为arccos

方法二:取中点,连结.

(或其补角)为异面直线所成的角

由题意得:

在中,;在中,;

在等腰三角形中,

所以异面直线与所成角的大小为

(2)方法一:

由题意可得,

所以,到平面的距离即为到平面的距离,设为

设平面的法向量为, ,

由得

,

,即

所以

故直线到平面的距离为

方法二:

由题意可得,

所以,到平面的距离即为到平面的距离,设为

由题意得,

等腰底边上的高为,

则,

且到平面的距离为,

由得

,则,

所以,直线到平面的距离为

本题共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分 .

(1)(理)解法一:建立坐标系

平面的一个法向量为

因为, ,

可知直线的一个方向向量为.

设直线与平面成角为,与所成角为,则

【D】19．(1)解法二:平面,即为在平面内的射影,故为直线与平面所成角,

在中, ,

(2)解法一:建立坐标系.平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为,因为,

所以,令,则

由图知二面角为锐二面角,故其大小为.

解法二:过作平面的垂线,垂足为,即为所求

,过作的垂线设垂足为,∽

即

在中

所以二面角的大小为.

解:(1)如图,以两个定点,的中点为坐标原点,以,所在的直线为轴,以线段的垂直平分线为轴,以与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,

设,,

,

两边平方,得

,

两边平方,整理得

令,得.①

若点、在轴上,则方程为:

(2)对称性:

由于点关于坐标原点的对称点也满足方程①,说明曲面关于坐标原点对称;

由于点关于轴的对称点也满足方程①,说明曲面关于轴对称;同理,曲面关于轴对称;关于轴对称.

由于点关于平面的对称点也满足方程①,说明曲面关于平面对称;同理,曲面关于平面对称;关于平面对称.

图略.

解:(1)与,与,与,与,

由已知,有,

,

同理,有

过点E作交点,则为异面直线与所成的角,

,,,

,即,同理

(2)过点分别作于点,于点,连接,则⊥平面,

平面⊥平面,过点作于点,则⊥平面

由题意知,,

,,

为中点,即四棱锥的高,

同理,再过点作于点,于点,连接,

原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱,且

答:该粮仓可储存立方米的粮食

解:⑴ 连,∵ ,

∴ 异面直线与所成角为,记,

∴ 异面直线与所成角为

⑵ 解法1:利用等体积

求解得

(解法2:利用向量求解)

是直线所成的角,

在中求解得

所以直线所成的角

解:(1)以为坐标原点,分别以射线、、为、、轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则,,,

,,

设是平面的法向量,则

,即令,则

设直线与平面所成角为,则

由于,所以

即直线与平面所成角的大小为;

(2)由(1)得

所以点到平面的距离

因为四边形是矩形,所以面积

【解析】⑴根据题意可得:在中,高

∴

⑵过作,垂足为,连结,则平面,∵平面,∴

∴在中,就是与平面所成的角

∵,∴,

又是的中点,∴是的中位线,

∴

在中

∴

∴

解:(1)连,由,得,同理,,由勾股定理逆定理得,

由平面,得.由,,得平面.

(2)取的中点,的中点,连、、、., ,的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小

由,,,得,,,.异面直线与所成的角的大小为

注:用向量解相应给分.

以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系

⑴依题意,,,, ,

所以,

所以, 所以异面直线所成角为

⑵设,则

因为平面,

平面,所以

所以,所以,

所以

(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)

解:(1)因为平面,所以,又,所以平面,

就是与平面所成的角

因为平面,与平面所成的角为,故,

由,得,,

所以,

所以与平面所成角的大小为

(2)设点到平面的距离为,由(1)可得,,

则,

由,得.

所以点到平面的距离为

解:(1)连结, ,

直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.

连结,连结,

是直线与平面所成的角

中, ,

.

直线与平面所成的角等于

(2)正四棱柱的底面边长是,体积是,

;

,

多面体的体积为

(理) [解](1)

(2)建立如图所示的直角坐标系,则

, , , ,

,

设平面的法向量为,则

,

所以

平面的法向量为,则

所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为

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