高三《一题多解 一题多变》题目
一题多解 一题多变（一）
原题： 的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意在R上恒成立
且Δ
，得
变1：的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意在R上恒成立
且Δ
，得
变2：的值域为R，求m的取值范围
解：令，则要求t能取到所有大于0的实数，
当
时，t能取到所有大于0的实数
当时，
且Δ
变3：的定义域为R,值域为
，求m,n的值
解：由题意，令，得
时，Δ
-
1和9时
的两个根
当
时，
，也符合题意
一 题 多 解-
解不等式
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当时，不等式可化为
（2）当时，不等式可化为
综上：解集为
解法二：转化为不等式组求解
原不等式等价于
综上：解集为
解法三：利用等价命题法
原不等式等价于
，即
解集为
解法四：利用绝对值的集合意义
原不等式可化为
，不等式的几何意义时数轴上的点
的距离大于
，且小于
，由图得， 解集为
一题多解 一题多变（二）
已知是等比数列的前n想项和，
成等差数列，求证：
成等差数列
法一：用公式，
因为成等差数列，所以
且
则
所以
所以成等差数列｀
法二用公式，
则，所以
成等差数列｀
证法三：（用公式）
解得（下略）
变题：
已知且
是第二象限角，求
解：是第二象限角，
变1：，求
解：，所以
是第一或第二象限角
若是第一象限角，则
若是第二象限角，则
变2：已知求
解：由条件，所以
当 时，
是第一或第二象限角
若是第一象限角时
若是第二象限角
当时
不存在
变3：已知，求
解：当时，
不存在
当时，
当时第一、第四象限角时，
当是第二、第三象限角时，
一题多解 一题多变（三）
题目：求函数的值域
方法一：判别式法 --
设，则
，由Δ
-
当时，
-
， 因此当
时，
有最小值2，即值域为
方法二：单调性法
先判断函数的单调性
任取，则
当时，即
，此时
在
上时减函数
当时，
在
上是增函数
由在
上是减函数，
在
上是增函数，知
时，
有最小值2，即值域为
方法三：配方法
，当
时，
，此时
有最小值2，即值域为
方法四：基本不等式法
有最小值2，即值域为
变 题
原题：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围
解：令能取到所有大于0的实数，则
时，
能取到所有大于0的实数
时，
且Δ
综上
一题多解 一题多变（四）
题目：求函数的值域
方法一：判别式法 --
设，则
，由Δ
-
当时，
-
， 因此当
时，
有最小值2，即值域为
方法二：单调性法
先判断函数的单调性
任取，则
当时，即
，此时
在
上时减函数
当时，
在
上是增函数
由在
上时减函数，
在
上是增函数，知
时，
有最小值2，即值域为
方法三：配方法
，当
时，
，此时
有最小值2，即值域为
方法四：基本不等式法
有最小值2，即值域为
变 题
原题：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值范围
解：由题意得
在R上恒成立，则要求
且Δ
变式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围
解：令能取到所有大于0的实数，则
时，
能取到所有大于0的实数
时，
且Δ
综上
一题多解 一题多变（五）
题目：椭圆的焦点是
，椭圆上一点P满足
，下面结论正确的是———————————————————————（ ）
（A）P点有两个 （B）P点有四个
（C）P点不一定存在 （D）P点一定不存在
解法一：
以为直径构圆，知：圆的半径
，即圆与椭圆不可能有交点。故选D
解法二：
由题知，而在椭圆中：
，
不可能成立
故选D
解法三：
由题意知当p点在短轴端点处最大，设
，
此时
为锐角，与题设矛盾。故选D
解法四：
设，由
知
，而
无解，故选D
解法五：
设，假设
，则
，而
即：，不可能。故选D
解法六：
，故
不可能。故选D
解法七：设由焦半径知：
而在椭圆中而
>
,故不符合题意，故选D
解法八.
设圆方程为：
椭圆方程为：
两者联立解方程组得：
不可能
故圆与椭圆
无交点
即不可能垂直
故选D
一题多解 一题多变（六）
一变题：课本P110 写出数列的前5项：
变题：已知函数，设
的反函数为
，
，求数列
的通项公式。
解：由题意得，，
，令
，则
是以
为首项，
为公比的等比数列，
故
从而，
二、一题多解
已知函数
（1）当时，求函数
的最小值；-
（2）若对于任意恒成立，试求实数
的取值范围，
解：（1）当时，
，当且仅当
时取等号
由性质可知，
在
上是增函数
，所以
在
是增函数，
在区间
上的最小值为
（2）法一：在区间上，
恒成立
恒成立
设，
在
上增
所以时，
，于是当且仅当
时，函数
恒成立，
故
法二：
当时，函数
的值恒为正；
当时，函数
为增函数，故当
时，
，于是当且仅当
时，函数
恒成，故
法三：在区间上，
恒成立
恒成立
恒成立，故
应大于
，
时的最大值-3，
所以
一题多解 一题多变（七）
原题：:若
,则
分析:用倒数换元
解: 令, 所以
将t换成x得到:
变题1：设满足关系式
求
的解析式
解：
将t换成x得到:
与原式联立方程组消去得到
变题2：已知
，其中
试求
的解析式
解：用相反数换元 令代入到原式当中得到：
将t换成x得到:
与原式联立方程组，得到：
变题3：已知，试求
的解析式
解：令，则
将中t换－t得到:
与联立方程组得到：
变题4：已知求
解：设 代入原式得：
将t换成—t得到:
与上式联立方程组得到
的解析式为：
一题多解
题目：设二次函数满足
word/media/image242_1.png且函数图象y轴上的截距为1，被x轴截的线段长为
，求
的解析式
分析：设二次函数的一般形式，然后根据条件求出待定系数a,b,c
解法一：设
由word/media/image242_1.png 得：
又
由题意可知
解之得：
word/media/image249_1.png
解法二：word/media/image242_1.png
故函数的图象有对称轴
可设
函数图象与y轴上的截距为1，则
又 被x轴截的线段长为
，则
整理得： 解之得：
解法三：： word/media/image242_1.png故
函数的图象有对称轴
，又
与x轴的交点为：
故可设
一题多解 一题多变（八）
原题 设有反函数
，又
与
互为反函数，则
（《教学与测试》P77）
变题 设有反函数
，又
的图象与
的图象关于
对称
（1） 求及
的值；
（2） 若均为整数，请用
表示
及
解(1)因的反函数是
，从而
,于是有
，令
得
；同样，
得反函数为
，从而
，于是，
．
(2),而
,故
,即
, …
，从而
．
同理，．
一题多解
1．函数，则( )
（A）
（B）
（C）
（D）
解法1. 由知
的图象关于
对称，得
而
，且
，因此
.
解法2.由知
的图象关于
对称，而
，而
在[－1,1]上递减，易得答案为B．
y
-1 0 1 x
一题多解 一题多变（九）
姜忠杰
变 题
原题：若在区间=
在区间
是减函数，则
的取值范围是多少？
变1：若函数=
在
上是减函数，则
的取值范围是多少？
变2、若函数=
在
上是增函数，则
的取值范围是多少？
变3、若函数=
在
上是增函数，且函数的值域为R，则
的取值范围是多少？
解：函数
的减区间为
，
-
变1、设，则
在
为减函数，且在
，
0
所以有且
（
）
，
的取值范围是
变2：设，则
在为减函数，且在
，
0-
所以有且
（
）
，
的取值范围是
变3：设，则
在
减区间，
在
取到一切正实数
，
，所以
或
一题多解：
设，
，求
的值。
解法一（构造函数）：设，则
，由于
在
上是单调递增函数，所以
，故
。
解法二（图象法）
因为是方程
的一个根，也就是方程
的一个根
是方程
的一个根，也就是方程
的一个根
令，
，
，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：
word/media/image346_1.png
是方程
的根，即图中OA=
是方程
的根，即图中OB=
易得OA+OB=10，所以
解法三：方程，
的根为
，
由
，得
，
，又
，
，
一题多解 一题多变（十）
（课本P102 ）证明：
word/media/image358_1.png变题：1、如图所示，
是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的
，任意
恒成立”的只有（ A ）
word/media/image362_1.png
word/media/image363_1.png
word/media/image364_1.png
A、 B、
C、
D、
变题2、定义在R上的函数满足：如果对于任意
都有
则称函数是R上的凹函数。已知二次函数
（1）求证：当时，函数
是凹函数；
（2）如果时，
，试求实数
的取值范围。
（1）证明：略
（2）实数的取值范围是
二、一题多解
不查表计算：
解法一：原式=
=
=
=
解法二：原式=
=1-
=1
解法三：原式=
=
=1
解法四：原式=
=
=1
解法五：原式=
=
=
=1
一题多解 一题多变（十一）
一题多解-
1． 已知（
，求
的值
解法1 先求反函数
由得
且
故原函数的反函数是
解法2从互为反函数的函数的关系看
令解得
即
变题
2． 已知对于任意实数
满足
，当
时，
（1） 求证
（2） 判断的单调性
证明 （1）令得
- 令，得
（2）设，则
在R上是单调函数
变题 1. 已知函数是定义R在上的增函数，且满足
（1） 求的值
（2） 若解不等式
解 （1） 令，得
-
（3） 在中，令
得
从而
又原不等式可化为
，
且是
上的增函数，
原不等式等价于
又
解得
原不等式的解集为（0，4）
一题多解 一题多变（十二）
考查知识点：函数的对称中心
原题：函数的图象关于原点对称。
解：该函数定义域为R，且+
=
=
，
该函数图像关于原点对称
变题1：已知函数满足
则
的图象的关于
对称
解：
为奇函数，即
的图象关于原点
对称，故
的图象关于
对称。
变题2：已知函数满足
，则函数
的图象关于
对称
解：由得，
，
－1为奇函数，即
－1的图象关于（0，0）对称，
的图象关于
对称
变题3：已知函数满足
，则
的图象关于（1，1）对称
解：令，则
，故由
得
，即
满足，即
，
的图象关于原点（0，0）对称，故
的图象关于（1，1）对称。
结论：若函数满足
，则
的图象关于
对称。
变题4：已知求证：（1）
（2）指出该函数图象的对称中心并说明理由。
（3）求的值。
（1）证明：，得证。-
（2）解：该函数图象的对称中心为，由
得
即，
的图象关于原点中心对称，故
的图象关于
对称。
（3）解：，故
，
，……，
=500
变题5：求证：二次函数的图象没有对称中心。
证明：假设是
的图象的对称中心，则对任意
，都有
，即
恒成立，
即有恒成立，也就是
且
与
矛盾
所以的图象没有对称中心。
一题多解 一题多变（十三）
题目：已知函数若对任意
恒成立，试求实数a的取值范围。
解法一：在区间上，
恒成立
恒成立，设
在
递增 ，
当x=1时
，于是当且仅当
时，函数恒成立，故 a>—3。
解法二：当a
的值恒为正,当a<0时,函数
为增函数故当x=1时
于是当且仅当3+a>)时恒成立, 故 a>—3。
解法三：在区间上
恒成立
恒成立
恒成立，故a应大于
时的最大值—3，
当x=1时，取得最大值 —3
题目： 将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，求所得图象的函数表达式。
解： 将函数中的x换成x+1，y换成y-1得
变题1：作出函数的图象
解： 函数
=
，它是由函数
的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到。图象为：
变题2：求函数的单调递增区间
解： 由图象知 函数的单调递增区间为：
变题3：求函数的单调递增区间
解： 由得
所以函数
的单调递增区间为
变题4： 求函数的单调递增区间
解： 由，所以函数
的单调递增区间
为
变题5 函数的反函数的图象的对称中心为（-1，3），求实数a
解： 由知对称中心为（（a+1，-1），所以它的反函数的对称中心为（-1，a+1），由题意知：a+1=3 得a=2。
变题6 ：函数的图象关于y=x对称求a的值
解： 因为函数的反函数是它本身，且过点（2，0），所以其反函数的图象必过点（0，2），即函数
也过点（0，2），代入得a=-1。
变题7 设（a，b）与（c，d）都是函数f（x）的单调区间， 且
则
与
的大小关系为（ ）
（A）（B）
（C）
（D）不能确定
解 ： 构造函数它在
上都是增函数，但在
上无单调性，故选D
变题8：讨论函数在
上的单调性。
解： 由
的图象知 ，当
时在上是增函数；当
时在上为减函数
一题多解 一题多变（十四）
已知，求证：
变 题
1、已知数列满足
，
，试比较
与
的大小
2、已知，且
，求证：
3、已知，求证：
解： 原题：证明：作差- ‘
，
1、
2、-
，
，又
，
-
3、作差
，
一 题 多 解
已知数列满足
，
，试比较
与
的大小
方法一：作差-
=
，
方法二：作商
-
方法三：（单调性），
关于
单调递增
方法四：浓度法 把看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着
的增大（相当于向溶液中加糖），浓度 当然增大，易得
一题多解 一题多变（十五）
例、-
恒成立，求
的取值范围
解：1、当时
2、
-
∴
变式1：已知函数的定义域为
，求实数
的取值范围。
解：由题意得恒成立，
∴1、当时
2、
-
∴
变式2、函数的定义域为
的充要条件是什么
解：由题意得恒成立，
∴1、当时
2、
-
∴
变式3、的定义域为
，求实数
的取值范围。
解：由题意得恒成立，
∴1、当时
2、
-
∴
变式4、的定义域为R，求实数
的取值范围。
解：由题意得-
无解即
-
或
∴
变式5、-
的定义域为R，求
的取值范围
解：由题意得恒成立，
∴1、当时
2、
-
∴
一题多解
徐晓洲
求的值域
法一：常数分离法
∴即
-
∴值域为[，1
法二：反解法
由
∴函数的值域为[，1
法三：判别式法
由
即：1、当时
故舍去
2、当时
所以函数的值域为[，1
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0440439fc0c708a1284ac850ad02de80d4d8063f.html
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